Question

Qual o conjunto solução da equação logarítmica log₄ (x + x²) = ½?

Answer 1

log₄ (x + x²) = ½?

 4^{ \frac{1}{2} } = x+x^{2}

 \sqrt{4} = x + x^{2}

2=x+ x^{2}

2x= +/-\sqrt{2}

x=+/-\frac{ \sqrt{2} }{2}

Answer 2

Foi nos dado uma equação logarítmica, e devemos determinar seu conjunto solução, ou seja, o conjunto onde se encontra valores para a incógnita como solução da equação.

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:4}~(x+x^2)=\dfrac{1}{2}\\\\\end{array}$

Uma condição de existência é que o logaritmo só vai existir se o logaritmando for positivo:

$\begin{array}{l}\sf x+x^2 > 0\\\\\sf x\cdot(1+x) > 0\\\\\begin{cases}\sf x > 0\\\sf 1+x > 0~\Rightarrow~x > -1\end{cases}\!\sf~\Leftrightarrow~\begin{cases}\sf x > 0\end{cases}\\\\\sf \begin{cases}\sf x < 0\\\sf 1+x < 0~\Rightarrow~x < -1\end{cases}\!\sf~\Leftrightarrow~\begin{cases}\sf x < -1\end{cases}\end{array}$

Portanto, para o logaritmo existir x deve ser menor que – 1 ou maior que 0.

$~~$

Agora seguindo, vamos aplicar a definição de logaritmo:

• logₐ (b) = c ⇔ b = aᶜ

$\begin{array}{l}\\\sf log_{\:4}~(x+x^2)=\dfrac{1}{2}\\\\\sf x+x^2=4^{\frac{1}{2}}\\\\\sf x+x^2=\sqrt{4}\\\\\sf x+x^2=2\\\\\sf x^2+x-2=0\end{array}$

Fatorando para encontrar as raízes...

$\begin{array}{l}\\\sf x^2-x+2x-2=0\\\\\sf x\cdot(x-1)+2\cdot(x-1)=0\\\\\sf(x+2)\cdot(x-1)=0\\\\\begin{cases}\sf x+2=0\\\\\sf x-1=0\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf x'=-2\\\\\sf x''=1\end{cases}\\\\\end{array}$

Encontrado as raízes, diante da condição de existência (x < – 1 ou  x > 0), vemos que:

• – 2 é menor que – 1, então nos serve,
• 1 é maior que 0, também nos serve

Portanto esses dois valores são soluções para a equação.

Conjunto solução...

$\boxed{\begin{array}{l}\\\sf S=\Big\{\!-2~~;~~1\Big\}\\\\\end{array}}$

$~~$

Att. Nasgovaskov

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