Question

Qual é o total de números múltiplos de 4, com quatro algarismos distintos, que podem ser formados com os algarismos 1,2,3,4,5,6?

Answer 1

Olá.

Como quer um múltiplo de 4, temos primeiro de entender mais sobre a divisibilidade por 4.


Um número, maior que 100, é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos forem.
Para exemplificar, mostro dois exemplos.

Ex.1 - 104
Os últimos dois algarismos, formam 04, que é divisível por 4, logo podemos afirmar que 104 também será:
Para garantir:
104/4 = 26.

Ex.2 - 4.324
Os últimos dois algarismos, formam 24, que é divisível por 4, logo podemos afirmar que 4.324 também será.
Para demonstrar: 
4.324/4 = 1.081


Voltando ao caso do enunciado: temos um campo amostral de 6 algarismos. Organizando-os, podemos formar apenas 8 números de 2 algarismos que são divisíveis por 4. Já mostrando a posição que eles podem ficar, demonstro-os em ordem:
1ª  _ _ 12
2ª  _ _ 16
3ª  _ _ 24
4ª  _ _ 32
5ª  _ _ 36
6ª  _ _ 52
7ª  _ _ 56
8ª  _ _ 64

Com certeza, podemos afirmar que existem 8 possibilidades para as duas últimas posições. Mas... E as duas primeiras?

Como usamos 2, de 6 algarismos, restaram apenas 4, já que não se pode repetir. Então, temos 4 números para 2 posições. Para saber a quantidade de possibilidades, podemos usar arranjo.
Teremos:
n = 4;
p = 2;

$\mathsf{A_{n,~p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}}\\\\\\ \mathsf{A_{4,~2}=\dfrac{4!}{(4-2)!}}\\\\\\ \mathsf{A_{4,~2}=\dfrac{4\cdot3\cdot2!}{(2)!}}\\\\\\ \mathsf{A_{4,~2}=\dfrac{4\cdot3\cdot\not\!2!}{\not\!2!}}\\\\\\ \mathsf{A_{4,~2}=4\cdot3}\\\\ \boxed{\mathsf{A_{4,~2}=12}}$

Para as duas primeiras, então, temos 12 possibilidades.

Para finalizar, multiplicamos a quantidade possibilidades para as primeiras posições e para as duas últimas. Vamos ter:
12 • 8 = 
96

O tal de números múltiplos de 4 formados pelo campo amostral dado é igual a 96.


Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.