Question

Qual é a integral de 4/(x^3+2x^2)?
(A) ln(x)+2/x+ln(x+2)+C
(B) -ln(x)+2/x+ln(x+2)+C
(C) ln(x)-2/x+ln(x+2)+C
(D) ln(x)+2/x-ln(x+2)+C
(E) -ln(x)-2/x+ln(x+2)+C
(F) ln(x)-2/x-ln(x+2)+C
(G) nenhuma das respostas anteriores

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \int \frac{4}{x {}^{3} + 2x {}^{2} } dx$

Para resolver essa integral, vamos usar o método das frações parciais, mas para isso devemos fazer uma pequena modificação:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \int \frac{4}{x {}^{3} + 2x {}^{2} } dx \: \: \to \: \: \int \frac{4}{x {}^{2} .(x + 2)} dx$

Agora vamos iniciar a aplicação do método. Para isso vamos dizer que essa fração é igual a:

$\: \frac{4}{x {}^{2} (x + 2)} = \frac{A }{x} + \frac{B }{x {}^{2} } + \frac{C}{(x + 2)}$

Agora vamos realizar o MMC do segundo membro dessa relação montada:

$\frac{4}{x {}^{2}(x + 2) } = \frac{Ax {}^{2} + Bx }{x.x {}^{2} } + \frac{ C}{x + 2} \\ \\ \frac{4}{x {}^{2}.(x + 2)} = \frac{(Ax {}^{2} + B x).( x+ 2) +Cx {}^{3} }{x {}^{3} .(x + 2)} \\ \\ \frac{4}{x {}^{2}.{(x + 2)} } = \frac{Ax {}^{3} + 2Ax {}^{2} + B x {}^{2} + 2B x +Cx {}^{3} }{x {}^{3} .(x + 2)} \\ \\ \frac{4}{x {}^{2}.{(x + 2)} } = \frac{ \cancel{x}.(Ax {}^{2} + 2Ax {}^{} + B x {}^{} + 2B +Cx {}^{2}) }{ \cancel{x {}^{3}} .(x + 2)} \\ \\ \frac{4}{ \cancel{x {}^{2}.{(x + 2)}} } = \frac{Ax {}^{2} + 2Ax {}^{} + B x {}^{} + 2B +Cx {}^{2}}{ \cancel{{x {}^{2}} .(x + 2)}} \\ \\ 4 = Ax {}^{2} + 2Ax {}^{} + B x {}^{} + 2B +Cx {}^{2}$

Agora vamos usar a igualdade polinomial, ou seja, igualar as coisas que tem x de membro, com os outros termos que possuem x do outro membro, e assim por diante:

$0.x {}^{2} + 0.x + 4 = Ax {}^{2} + 2Ax {}^{} + B x {}^{} + 2B +Cx {}^{2} \\ \begin{cases}A + C = 0 \\ 2A + B = 0 \\ 2 B = 4\end{cases}$

Resolvendo esse sistema gerado, temos:

$2 B = 4 \: \to \: B = 2 \\ 2A + B = 0 \: \to \: \: A = - 1 \\ A + C = 0 \: \to \: \: C = 1$

Agora vamos substituir esses dados na relação que montamos a partir de uma suposição:

$\frac{4}{x {}^{2}.(x + 2) } = \frac{A }{x} + \frac{B }{x {}^{2} } + \frac{ C}{(x + 2)} \\ \\ \frac{4}{x {}^{2}.(x + 2) } = \frac{ - 1 }{x} + \frac{2}{x {}^{2} } + \frac{ 1}{(x + 2)}$

Substituindo essa informação na integral:

$\int \frac{4}{x {}^{2}.(x + 2) } = \int \frac{ - 1 }{x} + \frac{2 }{x {}^{2} } + \frac{ 1}{(x + 2)} \\ \\ \int - \frac{1}{x} dx+ \int \frac{2}{x {}^{2} } dx + \int \frac{1}{x + 2} dx \\ \\ - \ln( |x|) + 2 \int \frac{1}{x {}^{2} } + \ln( |x + 2| )\\ \\ - \ln( |x| ) + 2 \int x {}^{ - 2} + \ln( |x + 2| )\\ \\ - \ln( |x| ) + 2. \frac{x {}^{ - 2 + 1} }{ - 2 + 1} + \ln( |x + 2| )\\ \\ \boxed{- \ln( |x| ) - \frac{2}{x} + \ln( |x + 2| ) + c}$

Espero ter ajudado