Question

Qual é a equação da circunferência simétrica de:

x² + y² - 3x - 5y - 7 = 0

em relação ao eixo das ordenadas ?

Answer 1

Olá, 
Sabendo que a equação reduzida da circunferência é $(x-x0)^{2}=(y-y0)^{2}=r^{2}$ teremos que aplicar a técnica de completamento de quadrado para chegar a essa equação reduzida.   
   
   Completando o quadrado, para achar qual polinomio que ali esta decomposto, faremos o caminho inverso, acharemos quais termos terão que estar dentro do parênteses para dar tal resultado.
  Acharemos os polinomios    $(x- \frac{3}{2})^{2}$     e    $(y-\frac{5}{2} )^{2}$.
   Com esses resultados, temos que o centro da circunferência é (3/2, 5/2).
 
   Para achar o raio, basta agora substituir o valor do x do centro, e achar os valores de y no x do centro, depois basta diminuir qualquer dos dois valores encontrados pelo y do centro, assim achando a diferença, teremos o raio da circunferencia. 
  
   $( \frac{3}{2} )^{2} +y^{2}-3(\frac{3}{2} )-5y-7= y^{2}-5y+\frac{9}{4}-\frac{9}{2}-7 \\ \\ y^{2}-5y-9,25$
  
    Fazendo Bhaskara, teremos os valores de 6,437 e  -1,437, como o raio é sempre positivo, vamos pegar o valor de y positivo para facilitar.
    
$6,437-( \frac{5}{2})=3,937$
  
   Como na fórmula reduzida da circunferencia o R está ao quadrado, elevando 3,937 ao quadrado temos 15,5.

Chegamos então a equação 

$(x- \frac{3}{2})^2+(y- \frac{5}{2})^{2}=15,5$

   Agora que achamos a forma reduzida, como o problema quer a circunferência simétrica em relação a Y, e também como a forma desta nova circunferência é a mesma da primeira, o que vai mudar será o seu centro, basta andarmos com o Y do centro, 2 vezes o valor do raio. Assim teremos  como nova circunferência 

$3,937*2=10.374 \\ \\ (x- \frac{3}{2} )^{2}+(y-10,374)^{2}=15,5.$
 
Espero ter ajudado.