Question

Qual a fórmula de bascara ?

Answer 1

Vamos tomar a equação do 2º grau em $x$ na sua forma geral:

$ax^2+bx+c=0~~~~~~\text{com }a\ne 0$


Para facilitar os cálculos, vamos multiplicar os dois lados da equação por $4a:$

$4a\cdot (ax^2+bx+c)=4a\cdot 0\\\\ 4a^2x^2+4abx+4ac=0\\\\ 4a^2x^2+4abx=-4ac\\\\ (2ax)^2+2\cdot (2ax)\cdot b=-4ac~~~~~~\mathbf{(i)}$


Veja que o lado esquerdo é "quase" um quadrado perfeito. Vamos completar o quadrado no lado esquerdo de $\mathbf{(i)},\,$ usando produtos notáveis:

( o quadrado da soma de dois termos )

$p^2+2pq+q^2=(p+q)^2~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Na relação $\mathbf{(ii)}$ acima, para $p=2ax~\text{ e }~q=b$

obtemos

$(2ax)^2+2\cdot (2ax)\cdot b+b^2=(2ax+b)^2$


Note que falta apenas um termo $b^2$ ao lado esquerdo de $\mathbf{(i)}$ para que este se torne um quadrado perfeito.

_______

Então vamos somar $b^2$ aos dois lados da equação $\mathbf{(i)}:$

$(2ax)^2+2\cdot (2a)\cdot b+b^2=b^2-4ac\\\\ (2ax+b)^2=b^2-4ac~~~~~~\mathbf{(iii)}$


Analisemos a equação $\mathbf{(iii)}$ acima. O lado direito é o quadrado de um número real. Portanto, a equação acima só terá solução se $b^2-4ac\ge 0.$


Tirando a raiz quadrada dos dois lados em $\mathbf{(iii)}\,,$ temos

$2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}\\\\ 2ax=-b\pm \sqrt{b^2-4ac}~~~~~~(\text{e como }a\ne 0)\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{array}}$


que é justamente o resultado dado pela fórmula de Bháskara.

__________

Com frequência $\Delta$ a expressão que está dentro da raiz quadrada:

$\Delta=b^2-4ac$

(discriminante da equação do 2º grau)

de forma que as soluções da equação podem ser escritas simplesmente como

$\boxed{\begin{array}{c} x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} \end{array}}$


Bons estudos! :-)

Answer 2

Δ= b² - 4.a.c

Abaixo segue o anexo com detalhe da forma e o restante dela.