Question

Quais os valores de b para que o polinômio p(x) = 2x⁴ + bx³ - bx - 2 = 0 tenha 4 soluções
distintas?

Answer 1

Resposta:

2x⁴ + bx³ - bx - 2 = 0

2x⁴ -2 + bx³ - bx  = 0

2(x⁴ -1) + bx(x² - 1) = 0

2*(x²+1)*(x²-1)+bx(x² - 1) = 0

(x²-1)* [2*(x²+1)+bx]=0

(x²-1)=0

(x+1)*(x-1)=0

x+1=0 ==>x1=-1

x-1=0 ==>x2= 1

já temos duas raízes x1=1 e x2=-1

Em 2*(x²+1)+bx =0

Não queremos que 1 seja raiz de 2*(x²+1)+bx =0

2*(1+1)+b ≠ 0  ==>4 +b≠0 ==>b≠-4

Não queremos que -1 seja raiz  de 2*(x²+1)+bx =0

2*(1+1)-b ≠ 0 ==>4 -b≠0 ==>b≠4

Também não queremos que 2*(x²+1)+bx =0 tenha apenas  uma raiz

Δ =b²-4*2*2≠0  ==>b²≠±16 ==>b≠4

Esta restrição também já foi contemplada

Δ>0 serão duas raízes distintas Reais

Δ<0 serão duas raízes distintas Complexas

Resposta: b≠4  ou  b≠-4

Answer 2

Olá Mirela!

Resposta:

$\boxed{\mathtt{b \neq \pm 4}}$

Explicação passo-a-passo:

$\\ \displaystyle \mathsf{P(x) = 2x^4 + bx^3 - bx - 2} \\\\ \mathsf{P(x) = 2x^4 - 2 + bx^3 - bx} \\\\ \mathsf{P(x) = 2(x^4 - 1) + bx(x^2 - 1)} \\\\ \mathsf{P(x) = 2(x^2 + 1)(x^2 - 1) + bx(x^2 - 1)} \\\\ \mathsf{P(x) = (x^2 - 1) \cdot \left [ 2(x^2 + 1) + bx \right ]} \\\\ \mathsf{P(x) = (x^2- 1) \cdot (2x^2 + bx + 2)} \\\\ \boxed{\mathsf{P(x) = (x + 1) \cdot (x- 1) \cdot (2x^2 + bx + 2)}}$

Até aqui, temos duas raízes distintas, certamente! Para que as raízes do(a) fator/equação $\displaystyle \mathtt{2x^2 + bx + 2 = 0}$ sejam distintas, no conjunto dos reais, seu discriminante deve ser maior que zero. Dito isto, fazemos:

$\\ \displaystyle \mathsf{\Delta > 0} \\\\ \mathsf{(b)^2 - 4 \cdot (2) \cdot (2) > 0} \\\\ \mathsf{b^2 - 16 > 0}$

Resolvendo essa inequação quadrática, tiramos que:

___+___(- 4)____-_____(+ 4)____+____

$\boxed{\mathsf{S = \left \{ b \in \mathbb{R} / b < - 4 \ \cup \ b > 4 \right \}}}$

Obs.: A meu ver, as raízes poderão, também, ser complexas. Assim, a única restrição para o discriminante será ser nula!

Em símbolos,

$\\ \displaystyle \mathsf{\Delta \neq 0} \\\\ \mathsf{(b)^2 - 4 \cdot (2) \cdot (2) \neq 0} \\\\ \mathsf{b^2 - 16 \neq 0} \\\\ \mathsf{b^2 \neq 16} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{b \neq \pm 4}}}$