Question

Prove que a seguinte igualdade é verdadeira.
$1)(a {}^{2} + b {}^{2})(c {}^{2} + d {}^{2}) = (ac + bd) {}^{2}(ad - bc) {}^{2}$
$2)(x ^{2} - 1)(y {}^{2} - 1) = (xy + 1) {}^{2} - (x + y) {}^{2}$
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Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Em ambos os casos, vamos demonstrar da direita para a esquerda, pois a expressão da direita é mais fácil de manipular.

Usaremos o produto notável:

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

1) Tem um erro de digitação. A forma certa deve ser:

$(a^2+b^2)(a^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$

Vamos mostrar essa igualdade.

$=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\\=a^2c^2+2acbd+b^2d^2+a^2d^2-2adbc+b^2c^2\\=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\\=a^2c^2+a^2d^2+b^2d^2+b^2c^2\\=a^2(c^2+d^2)+b^2(d^2+c^2)\\=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

2) Da mesma forma:

$=(xy+1)^2-(x+y)^2\\=x^2y^2+2xy+1-(x^2 +2xy+y^2)\\=x^2y^2 +2xy+1-x^2-2xy-y^2\\=x^2y^2+1-x^2-y^2\\=x^2y^2-x^2+1-y^2\\=x^2(y^2-1)-(y^2-1)\\=(x^2-1)(y^2-1)$