Question

Prove a igualdade
1!*1+2!*2+3!*3+...+(n-1)!*(n-1)=n!-1

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Usaremos Indução para provar a igualdade, nossa hipótese será:

Hip: Assumiremos que a igualdade é verdade para n=k, então temos:

                  $1!*1+2!*2+3!*3+...+(k-1)!*(k-1)=k!-1$

Indução Matemática: Agora, checaremos se a igualdade é válida para k+1:

      $1!*1+2!*2+3!*3+...+(k-1)!*(k-1)+(k+1-1)!*(k+1-1)=(k+1)!-1\\1!*1+2!*2+3!*3+...+(k-1)!*(k-1)+(k)!*(k)=(k+1)!-1\;,porem:\\1!*1+2!*2+3!*3+...+(k-1)!*(k-1)=k!-1\\k!-1+(k)!*(k)=(k+1)!-1\\k!-1+k!*k=(k+1)*k!-1\\k!(k+1)-1=k!(k+1)-1$                                              

Como é valido para k+1, a igualdade é verdadeira.