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As idades de 3 alunos estão em Progressão Aritmética (P.A.), tal que a soma das idades é igual a 21 anos e o produto das idades é igual a 231 anos. Determine a idade do mais velho ao quadrado.
No estudo de sequências, temos a sequência chamada Progressão Aritmética (P.A.). Dada uma P.A. em que a soma do 5º termo com o 6º termo é igual a 30; e que a soma do 2º termo com o 7º termo da P.A. vale 18, determine a razão dessa P.A..
Soluções para a tarefa
Resolução!
《 Progressão Aritmética 》
x - r + x + x + r = 21
3x = 21
X = 21/3
X = 7
( x - r ) ( x ) ( x + r ) = 231
( 7 - r ) ( 7 ) ( 7 + r ) = 231
49 + 7r - 7r - r^2 = 231/7
- r^2 = 33 - 49
- r^2 = - 16 * (-1)
r^2 = 16
r = \/16
r = +-4
Para r = 4
= x - r , x , x + r
= 7 - 4 , 7 , 7 + 4
= 3 , 7 , 11
Para r = - 4
= x - r , x , x + r
= 7 - (-4) , 7 , 7 + (-4)
= 7 + 4 , 7 , 7 - 4
= 11 , 7 , 3
A idade do mais velho ao quadrado
= 11^2
= 121
=====================================
a5 + a6 = 30
a1 + 4r + a1 + 5r = 30
2a1 + 9r = 30 Equação 1
a2 + a7 = 18
a1 + r + a1 + 6r = 18
2a1 + 7r = 18 Equação 2
Resolvendo o Sistema para encontrar a razão é os termos dessa PA
2a1 + 9r = 30
2a1 + 7r = 18 * (-1)
______________
2a1 + 9r = 30
- 2a1 - 7r = - 18
2r = 12
r = 12/2
r = 6
2a1 + 7r = 18
2a1 + 42 = 18
2a1 = 18 - 42
2a1 = - 24
a1 = - 24/2
a1 = - 12
PA = { - 12 , - 6 , 0 , 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 ... }
》》》》》》》》》》
1) A idade do mais velho ao quadrado é 121.
2) A razão dessa P.A. é 6.
Essas questões se tratam de progressão aritmética.
QUESTÃO 1
Sejam x, y e z as idades dos alunos, temos:
x + y + z = 21
xyz = 231
Se as idades formam uma progressão aritmética, podemos escrever x e z em função de y e da razão da PA:
x = y - r
z = y + r
Logo:
y - r + y + y + r = 21
3y = 21
y = 7
Da mesma forma:
(y - r)·y·(y + r) = 231
(y² - r²)·y = 231
(7² - r²)·7 = 231
49 - r² = 33
r² = 16
r = ±4
Considerando r = 4:
x = 7 - 4 = 3
z = 7 + 4 = 11
A idade do mais velho ao quadrado é:
z² = 11² = 121
QUESTÃO 2
Pelo termo geral da PA, temos:
a2 = a1 + r
a5 = a1 + 4r
a6 = a1 + 5r
a7 = a1 + 6r
Logo, temos:
a5 + a6 = 30
a1 + 4r + a1 + 5r = 30
2·a1 + 9r = 30
a2 + a7 = 18
a1 + r + a1 + 6r = 18
2·a1 + 7r = 18
Subtraindo as equações:
2r = 12
r = 6
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