Question

Os dois primeiros termos de uma progressão aritmética
(P.A.) crescente são equivalentes às raízes da equação
x² - 11x + 24 = 0. Sabendo que o número de termos dessa
P.A. é igual ao produto das duas raízes, a soma dos termos
dessa progressão é
a) 1100.
b) 1200.
c) 1350.
d) 1452.
e) 1672.

Answer 1

Resposta:

A soma dos termos da Progressão Aritmética é 1.452.

A alternativa correta é a alternativa D.

Explicação passo a passo:

Inicialmente, vamos determinar os dois primeiros termos da Progressão Aritmética crescente, que são equivalentes às raízes da equação x² - 11x + 4 = 0:

• Identificação dos coeficientes "a", "b" e "c":

Na equação x² - 11x + 4 = 0, os coeficientes são: a = + 1 | b = -11 | c = + 4.

• Determinação das raízes, pela aplicação da Fórmula de Bhaskara:

$x_{1} =\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\x_{1}=\frac{-(-11) +\sqrt{(-11)^{2}-4.1.24}}{2.1}\\x_{1}=\frac{+11+\sqrt{121-96}}{2}\\x_{1}=\frac{11+\sqrt{25} }{2}\\x_{1}=\frac{11+\sqrt{5^{2}} }{2}\\x_{1}=\frac{11+5}{2}\\x_{1}=\frac{16}{2}\\x_{1}=8\\\\x_{2} =\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\x_{2}=\frac{-(-11) -\sqrt{(-11)^{2}-4.1.24}}{2.1}\\x_{2}=\frac{+11-\sqrt{121-96}}{2}\\x_{2}=\frac{11-\sqrt{25} }{2}\\x_{2}=\frac{11-\sqrt{5^{2}} }{2}\\x_{2}=\frac{11-5}{2}\\x_{2}=\frac{6}{2}\\x_{2}=3$

No enunciado, foi-nos informado que os dois primeiros termos da Progressão Aritmética são as raízes da equação de segundo grau x² - 11x + 24 = 0, já conhecidos.

Também nos foi informado que a Progressão Aritmética é crescente, ou seja, o segundo termo é maior que o primeiro termo, o terceiro termo é maior que o segundo termo, e assim sucessivamente.

Portanto, os dois primeiros termos da Progressão Aritmética são: a₁ = 3 e a₂ = 8.

Igualmente, o enunciado da Tarefa nos passou que o produto das duas raízes nos fornece o número de termos da Progressão Aritmética.

Portanto, a Progressão Aritmética possuirá o seguinte número "n" de termos:

$n = x_{1}\times{x}_{2}\\n=8\times3\\n=24$

Assim, a Progressão Aritmética apresenta 24 termos.

Agora, vamos ao encontro da razão da Progressão Aritmética:

• Determinação da razão da Progressão Aritmética:

$r = a_{2}-a_{1}\\r=8-3\\r=5$

A razão ou a constante "r" da Progressão Aritmética é igual a 5.

• Determinação da soma dos termos da Progressão Aritmética:

A Fórmula que expressa a soma dos termos de uma progressão aritmética é a seguinte:

$S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})\times{n}}{2}$

Onde:

1. Sₙ: soma dos "n" termos.
2. a₁: primeiro termo.
3. aₙ: enésimo termo.

Para realizarmos a soma dos 24 termos da Progressão Aritmética da Tarefa, é necessário determinarmos o valor do 24º termo, através da Fórmula que expressa o termo geral de uma progressão aritmética, que segue:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1)\times{r}$

Onde:

1. aₙ: enésimo termo.
2. a₁: primeiro termo.
3. r: razão ou constante.
4. n: número de termos.

Com os dados de que dispomos, iremos determinar o valor do 24º termo da Progressão Aritmética (3, 8, ...):

$a_{n} = a_{1} + (n - 1)\times{r}\\a_{24}=3+(24-1)\times5\\a_{24}=3+ (23)\times5\\a_{24}= 3+115\\a_{24}=118$

Ao fim, determinaremos a soma dos 24 termos da Progressão Aritmética (3, 8, ..., 118):

$S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})\times{n}}{2}\\S_{24}=\frac{(3+118)\times24}{2}\\S_{24}=\frac{121\times24}{2}\\S_{24}=121\times12\\S_{24}=1.452$

• RESPOSTA: A soma dos termos da Progressão Geométrica é 1.452. A alternativa correta é a alternativa D.