Question

Obtenha o polinômio de Taylor de ordem 5 da função f(x)= sen x em torno de x0 = 0.

Answer 1

As alternativas são:

$a)P_5(x)=x-\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{120}$
b) Nenhuma das alternativas
$c)P_5(x)=1-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$
$d)P_5(x)=x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$
$e) P_5(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$

O polinômio de Taylor de ordem 5 é definido por:

$P_5(x_0)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f"(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\frac{f''''(x_0)}{4!}(x-x_0)^4+\frac{f'''''(x_0)}{5!}(x-x_0)^5$

Como a ordem é 5, então precisamos derivar a função f(x) = sen(x) cinco vezes:

f'(x) = cos(x)
f''(x) = -sen(x)
f'''(x) = -cos(x)
f''''(x) = sen(x)
f'''''(x) = cos(x)

Como x₀ = 0, então:

f(0) = 0
f'(0) = 1
f''(0) = 0
f'''(0) = 1
f''''(0) = 0
f'''''(0) = 1

Agora, basta substituir no polinômio definido inicialmente.

Perceba que as partes com potências pares (0, 2, 4) serão iguais a 0, restando apenas as partes com potências ímpares.

Lembrando que: 3! = 6 e 5! = 120:

$P_5=x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$

Portanto, a alternativa correta é a letra d)