Question

OBMEP 2005 Para cercar um terreno retangular de 60 metros quadrados com uma cerca formada por dois fios de arame foram usados 64 metros de arame. Qual é a diferença entre o comprimento e a largura do terreno?

Answer 1

x = comprimento

y = largura

"terreno retangular de 60 metros quadrados":

$xy=60$

"uma cerca formada por dois fios de arame foram usados 64 metros de arame", como a cerca é formada por dois fios, é necessário dividir por dois para encontrar o tamanho dela:

$\frac{64}{2}=32$

Como o tamanho da cerca é do tamanho do perímetro do terreno:

$2x+2y=32$

Isolando o valor de x:

$2x+2y=32\\ \\x+y=16\\ \\x=16-y$

Substituindo na primeira equação:

$xy=60\\ \\(16-y)\cdot y = 60\\ \\16y-y^2=60\\ \\y^2-16y+60=0$

Resolvendo a equação do segundo grau:

$\Delta=(-16)^2-4\cdot1\cdot60\\ \\\Delta=256-240\\ \\\Delta=16\\ \\\sqrt{\Delta}=4\\ \\ \\y=\frac{16\pm4}{2}\\ \\y_1=\frac{16+4}{2}=10\\ \\y_2=\frac{16-4}{2}=6$

A diferença entre o comprimento e a largura:

$10-6=4$