Question

O valor de x tal que 2x-y=4z=14 e x_3y+2z=14 e 3x+y-z=7 é:

Answer 1

Resposta:

A resposta é a letra d) 3

Explicação passo-a-passo:

Podemos facilmente encontrar os valores de x, y e z utilizando Eliminação de Gauss-Jordan ou "Escalonamento".

$\begin{cases} 2x -y + 4z = 14 \\ x -3y + 2z = 7 \\ 3x + y - z = 7 \end{cases}$

O sistema de equações pode ser descrito na forma matricial:

$\left[\begin{array}{ccc|c}2&-1&4&14\\1&-3&2&7\\3&1&-1&7\end{array}\right]$

Definimos o pivô na primeira coluna com o objetivo de eliminar o x das outras equações. Para isso, trocamos a segunda linha pela primeira.

$L_{1>2}$

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&-3&2&7\\2&-1&4&14\\3&1&-1&7\end{array}\right]$

Multiplicamos a primeira linha por 2.

$L_{1} . 2$

$\left[\begin{array}{ccc|c}2&-6&4&14\\2&-1&4&14\\3&1&-1&7\end{array}\right]$

Subtraímos a segunda linha pela primeira e voltamos esta ao valor original.

$L_{2} - 2L_{1}$

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&-3&2&7\\0&5&0&0\\3&1&-1&7\end{array}\right]$

Multiplicamos a primeira linha por 3.

$L_{1} . 3$

$\left[\begin{array}{ccc|c}3&-9&6&21\\0&5&0&0\\3&1&-1&7\end{array}\right]$

Subtraímos a terceira linha pela primeira e voltamos esta ao valor original.

$L_{3} - 3L_{1}$

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&-3&2&7\\0&5&0&0\\0&10&-7&-14\end{array}\right]$

Vamos escolher num novo pivô para eliminar o y das outras equações. Para isso vamos dividir a segunda linha por 5 e depois multiplicar por -3.

$\frac{L_{2}}{5} . -3$

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&-3&2&7\\0&1&0&0\\0&10&-7&-14\end{array}\right]\\\\\left[\begin{array}{ccc|c}1&-3&2&7\\0&-3&0&0\\0&10&-7&-14\end{array}\right]$

Subtraímos a primeira linha pela segunda e voltamos esta ao valor original.

$L_{1} - L_{2}$

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&2&7\\0&1&0&0\\0&10&-7&-14\end{array}\right]$

Multiplicamos a segunda linha por 10.

$L_{2} . 10$

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&2&7\\0&10&0&0\\0&10&-7&-14\end{array}\right]$

Subtraímos a terceira linha pela segunda e voltamos esta ao valor original.

$L_{3} - 10L_{2}$

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&2&7\\0&1&0&0\\0&0&-7&-14\end{array}\right]$

Vamos escolher num novo pivô para eliminar o z da equação restante. Para isso vamos dividir a terceira linha por -7 e multiplicar por 2.

$\frac{L_{3}}{-7} . 2$

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&2&7\\0&1&0&0\\0&0&1&2\end{array}\right]\\\\\\\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&2&7\\0&1&0&0\\0&0&2&4\end{array}\right]$

Por fim, subtraímos a primeira linha pela terceira e voltamos esta ao valor original.

$L_{1} - 2L_{3}$

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&3\\0&1&0&0\\0&0&1&2\end{array}\right]$

Temos assim que:

$\begin{cases} x=3 \\ y = 0\\ z = 2\end{cases}$

Como queríamos demonstrar.