Question

O valor da expressão [(3 – cos²x)/ sen² x] – 2 cotg²x é:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3

Answer 1

Vamos lembrar que:

$cotg(x)~=~\dfrac{cos(x)}{sen(x)}$

Assim, podemos reescrever cotg²x como:

$cotg^2x~=~\dfrac{cos^2x}{sen^2x}$

Substituindo na expressão:

$=~\dfrac{3-cos^2x}{sen^2x}~-~2\cdot\dfrac{cos^2x}{sen^2x}$

As duas frações possuem mesmo denominador, portanto podemos somar os numeradores:

$=~\dfrac{3~-~cos^2x~-~2cos^2x}{sen^2x}\\\\\\=~\dfrac{3~-~3cos^2x}{sen^2x}$

Podemos colocar o 3 em evidência no numerador:

$=~\dfrac{3\cdot1~-~3\cdot cos^2x}{sen^2x}\\\\\\=~\dfrac{3\cdot\left(1~-~cos^2x\right)}{sen^2x}$

Pela identidade trigonométrica sen²x+cos²x = 1, podemos reescrever (1-cos²x) como sen²x:

$=~\dfrac{3\cdot (sen^2x)}{sen^2x}$

Temos termos semelhantes no numerador e denominador (sen²x), logo podemos "corta-los":

$=~\dfrac{3\cdot ~~\backslash\!\!\!\!\!\!\!\!sen^2x}{\backslash\!\!\!\!\!\!\!\!sen^2x}\\\\\\=~\boxed{~3~}~~~\Rightarrow~Letra~D\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$