Question

O produto das raízes reais da equação 4x² - 14x + 6 = 0 é igual a:

a) - 3 sobre 2.

b) - 1 sobre 2

c) 1 sobre 2

d) 3 sobre 2

e) 5 sobre 2

Answer 1

O produto das raízes de uma equação de segundo grau é calculada por:

$P=\frac{c}{a}\\ \\ P=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

Answer 2

Dada uma equação do segundo grau, $ax^2+bx+c=0$, suas raízes são:
$x'=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ e $x"=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Deste modo, o produto dessas raízes é:

$P=x'\cdot x"$

$P=\left(\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)$

$P=\dfrac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{(2a)^2}$

$P=\dfrac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}$

$P=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}$.

Deste modo, o produto das raízes da equação $4x^2-14x+6=0$ é:

$P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$.

Temos:

$\Delta=(-14)^2-4\cdot4\cdot6=196-96=100$

$x=\dfrac{-(-14)\pm\sqrt{100}}{2\cdot4}=\dfrac{14\pm10}{8}$.

$x'=\dfrac{14+10}{8}=3$ e $x"=\dfrac{14-10}{8}=\dfrac{1}{2}$.

E de fato, $x'\cdot x"=3\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$.

$\text{Alternativa D}$