Question

O polinômio x³ - x² - 14x + 24 é divisível por RESOLUÇÃO(EXPLICAÇÃO)

a) (x - 1) e (x + 3)
b) (x - 2) e (x + 5)
c) (x - 2) e (x + 4)
d) (x - 3) e (x + 2)
e) (x + 5) e (x - 3)

Correta: C

Answer 1

Você pode resolver tentando achar possíveis raízes racionais para o polinômio e depois diminuir o grau ou testar as alternativas usando o teorema do resto. Como você quer saber porque é correta vou fazer testando a alternativa C) com o teorema do resto.

Para o polinômio ser divisível por algum binômio, quando substituímos a raiz deste binômio no polinômio, teremos resto igual a zero.Vou testar direto os binômios da alternativa C, caso você quiser pode testar nas demais.

c) (x-2) e (x+4)

Raiz de (x-2): 
x-2=0
x=2

Substituindo x no polinômio:
p(x)=x³-x²-14x+24
p(2)=2³-(2)²-14(2)+24
p(2)=8-4-28+24
p(2)=0      (resto = 0 significa que o polinômio é divisível por x-2)

Raiz de (x+4):

x+4=0
x=-4

Substituindo x no polinômio:
p(x)=x³-x²-14x+24
p(-4)=(-4)³-(-4)²-14(-4)+24
p(-4)=-64-16+56+24
p(-4)=0      (resto = 0 significa que o polinômio é divisível x+4)

Answer 2

O polinômio p(x) = x³ - x² - 14x + 24 é divisível por x - 2 e x + 4.

Sendo p(x) = x³ - x² - 14x + 24 um polinômio, então as possíveis raízes são os divisores de 24, ou seja, ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12 e ±24.

Vamos testar os divisores em p(x). Se o resultado for 0, então é raiz:

p(-1) = (-1)³ - (-1)² - 14.(-1) + 24 = 36

p(1) = 1³ - 1² - 14.1 + 24 = 10

p(2) = 2³ - 2² - 14.2 + 24 = 0.

Então, x = 2 é uma raiz. Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos que:

2 | 1   -1   -14   24

  | 1    1    -12  | 0

Portanto, p(x) = (x - 2)(x² + x - 12).

Utilizando a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes de x² + x - 12 = 0:

Δ = 1² - 4.1.(-12)

Δ = 49

$x=\frac{-1+-\sqrt{49}}{2.1}$

$x=\frac{-1+-7}{2}$

$x'=\frac{-1+7}{2}=3$

$x''=\frac{-1-7}{2}=-4$.

Portanto, p(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 4). Isso nos faz afirmar que p(x) é divisível por x - 2, x - 3 e x + 4.

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