O poliedro satisfaz a relação de Euler?
Soluções para a tarefa
Resposta:
Em todo poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces,vale a relação completas.V−A+F=2. Este é o Teorema de Euler para poliedros.A simplicidade do enunciado, a sua generalidade e a facilidade de ilustrá-lo com belos desenhos o tornam atraente, ou mesmo fascinante, para oestudante. Ao longo da história (o teorema foi descoberto em 1758),diversas demonstrações apareceram, mas nem todas corretas ouNa RPM 03, num artigo do Prof. Zoroastro Azambuja Filho, encontra-se uma demonstração elementar e muito bonita do teorema; o leitor podever também a mesma idéia na demonstração que se encontra no volume 2do livro Matemática do ensino médio, publicado pela SBM.A pergunta natural que se impõe é a seguinte: dados três númerosnaturais V, A e F tais que relação de Euler vértices e 6 arestas.V−A+FV=−2A+F=2, existe sempre um poliedroconvexo com V vértices, A arestas e F faces? A resposta égritantemente não. Por exemplo, V = 7, A = 9 e F = 4 satisfazem a, mas não são números de nenhumpoliedro, uma vez que com 4 faces só existe o tetraedro, que tem 4Portanto, que condições os números V, A e F devem satisfazer,além da relação de Euler, para que possamos garantir a existência de umpoliedro com esses números de vértices, arestas e faces? Obter a respostapara essa pergunta é o objetivo deste artigo.