Question

O número real "a" é o menor dentre os valores de x que satisfazem a equação $2log_{2} (1+ \sqrt{2x})-log _{2}( \sqrt{2x})=3$. Então, $log_{2}( \frac{2a + 4}{3} )$ é igual a:

a) $\frac{1}{4}$
b) $\frac{1}{2}$
c) 1
d) $\frac{3}{2}$
e) 2

Obs.: Por favor, preciso de TODOS os cálculos, do contrário, não vai servir de nada.

Answer 1

$2log _{2} (1+ \sqrt{2x} )- log _{2} ( \sqrt{2x} )=3 \\ \\ log _{2} (1+ \sqrt{2x} ) ^{2}-log _{2}( \sqrt{2x} )=3 \\ \\ log _{2}[ \frac{(1+ \sqrt{2x} ) ^{2} }{ \sqrt{2x} } ] =3$
Chamando $\sqrt{2x}$ de "y", temos:
$log _{2} [ \frac{(1+y) ^{2} }{y} ]=3 \\ \\ \frac{(1+y) ^{2} }{y} = 2^{3} \\ \\ (1+y) ^{2} =8y$
$1+2y+y ^{2} =8y \\ y ^{2} -6y+1=0 \\(baskara) 36-4=32 \\ y'= \frac{6+ \sqrt{32} }{2}$
$y'= \frac{6+4 \sqrt{2} }{2} \\ \\ y'=3+2 \sqrt{2} \\ \\ y''=3-2 \sqrt{2}$

Agora vamos determinar x

$\sqrt{2x}=3+2 \sqrt{2} \\ \\ x'= \frac{3+2 \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } \\ \\ x''= \frac{3-2 \sqrt{2} }{ \sqrt{2} }$
Como "a" é o menor valor de x, ele só pode ser o x''

$log _{2}( \frac{2a+4}{3} )=b$
$\frac{2( \frac{3-2 \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } )+4}{3}=2 ^{b} \\ \frac{ \frac{6-4 \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } +4}{3} =2 ^{b} \\ \frac{ \frac{6-4 \sqrt{2} +4 \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } }{3}=2 ^{b}$
$\frac{ \frac{6}{ \sqrt{2} } }{3}=2 ^{b} \\ \\ \frac{2}{ \sqrt{2} } = (//*racionalized*)\sqrt{2}$

$2 ^{b}= \sqrt{2} \\ 2 ^{b}= 2 ^{ \frac{1}{2} } \\ \\ b= \frac{1}{2}$

Answer 2

O valor de $log_2(\frac{2a+4}{3})$ é 1/2.

Perceba que log₂8 = 3.

Então, vamos reescrever a equação:

2log₂(1 + √2x) - log₂(√2x) = log₂8

2log₂(1 + √2x) = log₂8 + log₂(√2x)

Podemos utilizar a propriedade de soma de logaritmos de mesma base na parte direita da equação acima:

2log₂(1 + √2x) = log₂(8x√2)

O 2 que está multiplicando o logaritmo na parte esquerda da equação é uma potência. Assim,

log₂(1 + √2x)² = log₂(8x√2)

(1 + √2x)² = 8x√2

1 + 2x√2 + 2x² = 8x√2

2x² - 6x√2 + 1 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-6√2)² - 4.2.1

Δ = 72 - 8

Δ = 64

$x = \frac{6\sqrt{2}+-\sqrt{64}}{2.2}$

$x=\frac{6\sqrt{2}+-8}{2.2}$

$x=\frac{3\sqrt{2}+-4}{2}$

O menor valor é $\frac{3\sqrt{2}-4}{2}$. Substituindo esse valor em $log_2(\frac{2a+4}{3})$, obtemos:

$log_2(\frac{2.\frac{3\sqrt{2}-4}{2}+4}{3})=$

log₂(√2) =

1/2.

Alternativa correta: letra b).

Para mais informações sobre logaritmo, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/1926326