Question

o modulo do numero complexos Z = i²⁰²² + i¹⁹⁸⁵ é igua a

a. raiz de 2
b. raiz de 5
C. 0
d. raiz de 3
e. 1​

Answer 1

Resposta:

Alternativa a) $\sqrt{2}$

Explicação passo a passo:

Os

números complexos

surgem a partir da necessidade de

resolução de equações que possuem raiz de números negativos

, o que, até então, não era possível de resolver-se trabalhando com os números reais. Os números complexos podem ser representados de três formas: a

forma algébrica

(z = a + bi)

, composta por uma

parte real a e uma parte imaginária b

;

a forma geométrica

, representada no plano complexo conhecido também como plano de

Argand-Gauss

; e a sua forma trigonométrica, conhecida também como forma polar.

Conhecido como plano complexo ou plano de Argand-Gauss, ele permite a representação na forma geométrica de um número complexo, esse plano é uma adaptação no plano cartesiano para representar números complexos. O eixo horizontal é conhecido como eixo da parte real Re(z), e o eixo vertical é conhecido como eixo da parte imaginária Im(z). Então o número complexo representado por a + bi gera os pontos no plano complexo formado pelo par ordenado (a, b).

Ao tentar-se resolver uma

equação do segundo grau

, como

x² = –25,

muitas vezes ela era dita como sem solução. Não obstante, na tentativa de algebrizar, surgiu então a

representação algébrica

, que possibilita a realização de operações com esses números, ainda que

não se consiga calcular a raiz quadrada de um número negativo.

Para facilitar a

resolução das situações

em que se trabalha com a raiz quadrada de um número negativo, foi definida a unidade imaginária:

$i^{2} = -1$

Então:

$x^{2} =-25\\x^{2} =25*i^{2} \\x=\sqrt{25i^{2} } \\x=5i$

Módulo e argumento de um número complexo

O módulo de um número complexo, geometricamente, é a distância do ponto (a,b) que representa esse número no plano complexo até a origem, ou seja, o ponto (0,0).

Como podemos perceber, |z| é a hipotenusa do triângulo retângulo, logo, ela pode ser calculada aplicando-se o teorema de Pitágoras, por isso temos que:

$Z = \sqrt[2]{a^2 + b^2}$

Fazendo:

$Z = i^{2022} +i^{1985} \\Z = i^{2^{1011} }+i^{2^{992} }i\\Z = (-1)^{1011} +(-1)^{992}i\\Z= -1 + 1i\\|Z|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2} }=\sqrt{2}$

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