Question

O emprego de mudanças de coordenadas em integrais triplas exige a identificação do jacobiano associado à transformação, relacionando as variáveis do sistema de coordenadas original, que em geral consiste em em coordenadas cartesianas, com as variáveis do novo sistema.
Considere as mudanças, com base no sistema de coordenadas cartesianas, dadas por:
x= v+w², y= w+u², z= u+v²
Assinale a alternativa que indica o jacobiano associado à transformação descrita.

a) J= 1
b) J= 1+8uvw
c) J= 1+2uvw
d) J= 0
e) J= 8uvw

Answer 1

Para calcular o Jacobiano precisamos derivar parcialmente x, y e z em relação a u, v e w.

Sendo x = v + w², temos que:

$\frac{\partial x}{\partial u} = 0$

$\frac{\partial x}{\partial v} = 1$

$\frac{\partial x}{\partial w} = 2w$

Sendo y = w + u², temos que:

$\frac{\partial y}{\partial u} = 2u$

$\frac{\partial y}{\partial v} = 0$

$\frac{\partial y}{\partial w} = 1$

Sendo z = u + v², temos que:

$\frac{\partial z}{\partial u} = 1$

$\frac{\partial z}{\partial v} = 2v$

$\frac{\partial z}{\partial w} = 0$

Agora, precisamos calcular o determinante. Lembrando que: na primeira linha teremos os valores de x, na segunda linha os valores de y e na terceira linha os valores de z.

Além disso, na primeira coluna teremos os valores de u, na segunda coluna os valores de v e na terceira coluna os valores de w.

Assim,

$J =\left[\begin{array}{ccc}0&1&2w\\2u&0&1\\1&2v&0\end{array}\right]$

J = 0(0.0 - 2v.1) - 1(2u.0 - 1.1) + 2w(2u.2v - 1.0)

J = 1 + 8uvw

Portanto, a alternativa correta é a letra b).

Answer 2

Resposta:

J = 1 + 8uvw