Question

Numa P.A, o 10° termo e a soma dos 30 primeiros termos valem, respectivamente, 26 e 1440. A razão dessa progressão é:

Answer 1

Olá

Para determinarmos o valor da razão, devemos determinar uma expressão que defina tais valores

São eles:
$\mathtt{a_1}$ e $\mathtt{a_n}$

Então, sabendo que

$\mathtt{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}\\\\\\ \mathtt{S_n=\dfrac{n\cdot (a_1+a_n)}{2}}$

E o valor nos dado no enunciado é

$\mathtt{a_{10}=26}$

É possível utilizar a fórmula da soma de termos e simplificar a fórmula do termo geral

Já que usamos o 1° termo no termo geral, isole em uma expressão usando o 10° termo

$\mathtt{a_1=26-9r}$

Substitua seu valor na fórmula da soma

$\mathtt{S_n=\dfrac{30((26-9r)+(26-9r+29r)}{2}=1440}$

Simplifique o fator externo pelo denominador e as operações internas aos parênteses

$\mathtt{15(26-9r + 26 + 20r)=1440}$

Reduza os termos semelhantes

$\mathtt{15(52+11r)=1440}$

Divida ambos os valores pelo fator externo

$\mathtt{\dfrac{15(52+11r)}{15}=\dfrac{1440}{15}}$

Simplifique a divisão

$\mathtt{52+11r=96}$

Mude a posição do menor termo independente, alterando seu sinal e isole o termo variável

$\mathtt{11r=96-52}$

Reduza os termos semelhantes

$\mathtt{11r=44}$

Divida ambos os termos pelo valor do coeficiente

$\mathtt{\dfrac{11r}{11}=\dfrac{44}{11}}$

Simplifique a divisão

$\mathsf{r=4}$

Este é o valor da razão desta progressão aritmética