No retângulo ABCD, cujos lados AB e AD medem respectivamente 10cm e 20cm, o ponto P se desloca de A para B com velocidade de 1cm/s e o ponto Q vai de B para C com o dobro dessa velocidade. Eles partem no mesmo instante. A figura ao lado mostra o triângulo PBQ para todo 0 < t <10 , t em segundos.
A) Seja A a função que associa a cada valor de t a área A (t) do triângulo PBQ. Escreva uma expressão para A (t).
B) Calcule a área do triângulo PBQ quando AP=3cm
C) Calcule a área máxima do triângulo PBQ.
Soluções para a tarefa
Para esta questão precisamos saber a fórmula geral da área de triângulos:
Base * Altura / 2
Também precisamos entender como os lados do triângulo se comportam nesta questão.
Para o lado PB o valo inicial é 10cm e a cada instante de tempo t ele diminui de uma unidade, logo: PB = 10 - t
Para o lado BQ o valor inicial é 0cm e a cada instante de tempo t é acrescentado em 2 unidades, logo: BQ = 2t
Agora vamos as questões...
A) A(t) = Base * Altura / 2
A(t) = BQ * PB / 2
A(t) = 2t * (10 - t) / 2
A(t) = t * (10 - t)
A(t) = -t² + 10t
B) Quando AP mede 3cm, t = 3
A(3) = - (3)² + 10 * 3
A(3) = - 9 + 30
A(3) = 21cm² (muito importante não esquecer a unidade)
C) Para esta questão devemos analisar a nossa equação geral do triângulo PBQ. Como o maior expoente da equação de A(t) é 2, logo nós temos uma equação de segundo grau.
Como é uma equação de segundo grau ela possui concavidade para cima ou para baixo, tudo depende do coeficiente do expoente de grau 2.
No caso o expoente é negativo (-1), isto significa que a função possui concavidade para baixo e por isso ela possui um valor máximo.
Para acharmos o valor máximo precisamos descobrir o Y do vértice.
Y do vértice = -Δ / 4a
Y do vértice = - (b² - 4ac) / 4a
Y do vértice de A(t) = - (10² - 4 * (-1) * 0) / 4 * (-1)
Y do vértice de A(t) = - (100) / -4
Y do vértice de A(t) = 100 / 4
Y do vértice de A(t) = 25
Valor máximo da área do triângulo PBQ é 25cm²
Qualquer dúvida é só comentar,
Bons estudos ^^