"No plano xy, existem quatro pontos : O(0,0) , A(0,3) , B(0,-3) , C(4,0) .
A equação da linha reta AC é 3x+4y-12 = 0 .
As coordenadas do circuncentro do triângulo ABC são (7/8,0).
Quando o ponto D é a intersecção da bissetriz do ângulo ABC e o eixo x , qual a proporção de OD : DC e quais as coordenadas do incentro do triângulo ABC? "
A minha dúvida é, como consigo achar estes resultados? Através de quais propriedades?
Soluções para a tarefa
Respondido por
2
1º A equação da reta AC.
Seja m1 o coeficiente angular da reta AC.
m1=y-y0 / x-x0
m1=-3/4
Escolhendo qualquer um dos dois pontos A ou C, a equação da reta será dada por:
y-y0=m1(x-x0)
y-3=-3/4(x-0)
tirando o mmc e isolando os termos obtemos 3x+4y-12=0
2º As coordenadas do circuncentro.
O circuncentro é o ponto notável do triângulo que é interseção das mediatrizes dos lados do triângulo.
A mediatriz é perpendicular a reta suporte do lado do triângulo assim, a reta AC tem m1=-3/4, sua mediatriz tem coeficiente m(1)=4/3 e o ponto médio de AC é M1(2,3/2). Então a equação da mediatriz será:
y-3/2=4/3(x-2) arrumando,
6y-8x+7=0
Por outro lado, a reta BC tem coeficiente m2=3/4, então sua mediatriz tem coeficiente m(2)=-4/3 e o ponnto médio de BC é M2(2,-3/2). Então a equação da mediatriz será:
y-(-3/2)=-4/3(x-2) arrumando,
6y+8x-7=0
Igualando as duas equações das mediatrizes temos um sistema cuja solução é x=7/8 e y=0 que são as coordenadas do circuncentro.
3º O ponto D é o incentro, já que é o ponto de interseção das bissetrizes internas do triangulo. Assim, precisamos apenas de uma bissetriz pois uma delas é o próprio eixo x, a reta y=0.
Como a reta AB é o próprio eixo y, é a reta x=0 a bissetriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas.
ax+by+c / raiz(a^2+b^2) = +- ax+by+c / raiz(a^2+b^2)
x/1 = +-(6y+8x-7/10)
10x=6y+8x-7 ---- 2x-6y-7=0
ou
10x=-6y-8x+7 ---- 18x+6y+7=0
Como pela figura queremos a reta crescente usamos a primeira. E substituímos y=0.
x=3/2
Assim,
OD=3/2 e como OC vale 4, DC=4-3/2, DC=5/2, logo a razão OD/DC=3/5.
Espero ter ajudado!!!
Seja m1 o coeficiente angular da reta AC.
m1=y-y0 / x-x0
m1=-3/4
Escolhendo qualquer um dos dois pontos A ou C, a equação da reta será dada por:
y-y0=m1(x-x0)
y-3=-3/4(x-0)
tirando o mmc e isolando os termos obtemos 3x+4y-12=0
2º As coordenadas do circuncentro.
O circuncentro é o ponto notável do triângulo que é interseção das mediatrizes dos lados do triângulo.
A mediatriz é perpendicular a reta suporte do lado do triângulo assim, a reta AC tem m1=-3/4, sua mediatriz tem coeficiente m(1)=4/3 e o ponto médio de AC é M1(2,3/2). Então a equação da mediatriz será:
y-3/2=4/3(x-2) arrumando,
6y-8x+7=0
Por outro lado, a reta BC tem coeficiente m2=3/4, então sua mediatriz tem coeficiente m(2)=-4/3 e o ponnto médio de BC é M2(2,-3/2). Então a equação da mediatriz será:
y-(-3/2)=-4/3(x-2) arrumando,
6y+8x-7=0
Igualando as duas equações das mediatrizes temos um sistema cuja solução é x=7/8 e y=0 que são as coordenadas do circuncentro.
3º O ponto D é o incentro, já que é o ponto de interseção das bissetrizes internas do triangulo. Assim, precisamos apenas de uma bissetriz pois uma delas é o próprio eixo x, a reta y=0.
Como a reta AB é o próprio eixo y, é a reta x=0 a bissetriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas.
ax+by+c / raiz(a^2+b^2) = +- ax+by+c / raiz(a^2+b^2)
x/1 = +-(6y+8x-7/10)
10x=6y+8x-7 ---- 2x-6y-7=0
ou
10x=-6y-8x+7 ---- 18x+6y+7=0
Como pela figura queremos a reta crescente usamos a primeira. E substituímos y=0.
x=3/2
Assim,
OD=3/2 e como OC vale 4, DC=4-3/2, DC=5/2, logo a razão OD/DC=3/5.
Espero ter ajudado!!!
Styxer:
Apesar de não ter entendido nenhuma das propriedades que você usou na última questão, agradeço a tentativa!
São as fórmulas para obter as equações das bissetrizes.
No livro do Gelson Iezzi você encontra mais a respeito destas expressões.
Perguntas interessantes