Question

No final do ano passado foi descoberto o maior número primo conhecido atualmente. Conhecido também como primo de Mersenne com mais de 23 milhões de dígitos.

Maior número primo encontrado:

$\mathsf{2^{77.232.917}-1}$

(Primos de Mersenne tem o seguinte formato; 2ⁿ - 1)

Prove que se 2ⁿ - 1 é primo, então n também é primo.

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Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

Seja "n" um número natural formado pelo produto de dois outros números naturais "a" e "b".

Assim, devemos provar que se $2^{ab}-1$ é primo então $ab$ é primo.

Vamos dividir esse termo por $2^a-1$.

$\frac{2^{ab}-1}{2^a-1}=2^{a(b-1)}+\frac{2^{a(b-1)}-1}{2^a-1}=2^{a(b-1)}+2^{a(b-2)}+\frac{2^{a(b-2)}-1}{2^a-1}$

Essa divisão continuará até que o numerador seja igual ao denominador.

$\frac{2^{ab}-1}{2^a-1}=2^{a(b-1)}+2^{a(b-2)}+2^{a(b-3)}...+2^{a(b-(b-2))}+1\\\\2^{ab}-1=(2^{a}-1)(2^{a(b-1)}+2^{a(b-2)}+2^{a(b-3)}...+2^{a(b-(b-2))}+1)$

Observe, para que o primeiro membro seja primo, um dos termos do segundo membro deve ser igual a 1. O segundo termo é impossível pois há 1 unidade somada à uma sequência de 2^n que são maiores que 0. Assim resta que o primeiro termo seja igual a 1, e para isso "a" deve ser único e exclusivamente 1 para isso ocorrer. Como o número "n" não pode composto por "a" e "b" que não são exclusivamente 1 e ele mesmo, então "n" é primo.

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