Neste contexto, encontre a equação da reta tangente de curva a seguir no ponto indicado. Usando o Geogebra, plote o gráfico da função e a reta obtida, de modo a verificar se sua resposta está correta.
f(x)= (2x+1)/(3x-4); no ponto de abscissa x=-1.
Neste contexto, encontre a equação da reta tangente de curva a seguir no ponto indicado. Usando o Geogebra, plote o gráfico da função e a reta obtida, de modo a verificar se sua resposta está correta.
f(x)= (2x+1)/(3x-4); no ponto de abscissa x=-1.
Soluções para a tarefa
Como encontrar a equação da reta tangente de uma função?
Através da derivada da função. Aplicando as propriedades do cálculo diferencial, conseguimos encontrar uma expressão para a inclinação da reta tangente dado um ponto x pertencente ao domínio da função.
Qual é a resposta?
Derivando a função f(x) pela regra do quociente:
Seja f(x) = (2x+1) / (3x-4), então:
f'(x) = (2x+1)'.(3x-4) - (3x-4)'.(2x+1) / (3x-4)²
f'(x) = 2.(3x-4) - 3.(2x+1) / (3x-4)²
f'(x) = 6x - 8 - 6x - 3 / (3x-4)²
f'(x) = -11/(3x-4)²
Para x = 1, a inclinação da reta tangente é:
f'(1) = -11/(3.1-4)²
f'(1) = -11/(-1)²
f'(1) = -11
Portanto, a equação da reta é para o ponto x = 1:
f(1) = (2.1 + 1)/(3.1-4)
f(1) = 3/-1
f(1) = -3
y-yo = m.(x-xo)
y-(-3) = -11.(x-1)
y + 3 = -11x + 11
y = -11x + 8
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A equação da reta tangente à curva no ponto x = -1 é y = -11x/49 - 4/49.
Esta questão se trata de derivadas.
A derivada é definida como a taxa de variação de uma função e pode ser calculada através de um limite ou utilizando as regras de derivação.
Para encontrar a reta tangente a esta função, devemos calcular sua derivada pela regra do quociente:
f'(x) = [(2x + 1)'·(3x - 4) - (2x + 1)·(3x - 4)']/(3x - 4)²
(2x + 1)' = 2
(3x - 4)' = 3
f'(x) = [2·(3x - 4) - (2x + 1)·3]/(3x - 4)²
f'(x) = [6x - 8 - 6x - 3]/(3x - 4)²
f'(x) = -11/(3x - 4)²
Para x = -1, temos:
f'(-1) = -11/(3·(-1) - 4)²
f'(-1) = -11/(-7)²
f(-1) = -11/49
Este é o coeficiente angular da reta. Calculando f(-1):
f(-1) = (2·(-1) + 1)/(3·(-1) - 4)
f(-1) = -1/-7
f(-1) = 1/7
Logo, temos:
y - y0 = m·(x - x0)
y - 1/7 = -11/49 · (x - (-1))
y = (-11/49)·(x + 1) + 1/7
y = -11x/49 - 4/49
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