Question

Não consigo entender, como calcular essa equação exponencial, peço uma explicação passo a passo por favor??

$2. {3}^{x + 1} - 4. {3}^{x - 2} = 150$
​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Veja que:

$\sf 3^{x+1}=3^{x}\cdot3^{1}$

$\sf 3^{x-2}=3^{x}\cdot3^{-2}$

Seja $\sf y=3^{x}$

$\sf 2\cdot3^{x+1}-4\cdot3^{x-2}=150$

$\sf 2\cdot3^{x}\cdot3^1-4\cdot3^{x}\cdot3^{-2}=150$

$\sf 2\cdot y\cdot3-4\cdot y\cdot\dfrac{1}{9}=150$

$\sf 6y-\dfrac{4y}{9}=150$

$\sf 9\cdot6y-4y=9\cdot150$

$\sf 54y-4y=1350$

$\sf 50y=1350$

$\sf y=\dfrac{1350}{50}$

$\sf y=27$

Assim:

$\sf y=3^x$

$\sf 3^x=27$

$\sf 3^x=3^3$

Igualando os expoentes:

$\sf x=3$

Answer 2

Resposta:

Queremos encontrar o x. Vou assumir que o ponto aí é um sinal de multiplicação.

Neste caso, $x = 3$. Veja a explicacão abaixo.

Explicação passo a passo:

Colocamos inicialmente o $3^x$ em evidência. Mas para colocá-lo em evidência, note que em um fator temos $3^{x + 1}$, enquanto que no outro, $3^{x - 2}$. Eu escolhi colocar $3^x$ em evidência por ser fator comum nos dois termos e por ter justamente a incógnita.

Agora observe que $3^{x + 1} = 3^x\cdot 3^1$, pela propriedade das potências, que diz que $a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}$. Isto é fácil de compreender. Imagine que temos $2^3\cdot 2^2$. Explicitamente, temos

$\underbrace{2\times 2\times 2}_{2^{3}}\underbrace{\times 2\times 2}_{2^2} = 2^5.$

O mesmo ocorre com $3^{x - 2} = 3^x \cdot 3^{-2}$. Assim, podemos reescrever a expressão que você forneceu:

$3^x\cdot \left( 2\times 3 - 4\times 3^{-2}\right) = 150.$

Observe que se você aplicar a propriedade distributiva, você obtém exatamente a equação da questão.

Bem, vamos voltar à resolução. Note que $3^{-2} = \frac{1}{3^2}$. Portanto,

$3^x\cdot \left( 6 - \frac{4}{9} \right) = 150$,

uma vez que $2\times 3 = 6$ e que $3^2 = 9$.

Aplicando o mmc da subtração entre parênteses, vem:

$3^x\left( \frac{54 - 4}{9} \right) = 150$,

ou ainda

$3^x \cdot \frac{50}{9} = 150.$

Agora, multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar o 9 do denominador do lado esquerdo, vem:

$3^x\cdot 50 = 150 \times 9$

$3^x = \frac{1350}{50}$.

Agora sim, resolvendo a divisão do lado direito, fica:

$3^x = 27,$

e chegamos a conclusão que $x = 3$, pois $3^3 = 27$.

Existem outras formas de resolver. Se precisar de ajuda, me escreva!