Matemática, perguntado por Panda175, 1 ano atrás

mostre que a soma de três números inteiros consecutivos é divisível por 3

Soluções para a tarefa

Respondido por IncrívelColinha
10
Considere os número x-1, x e x+1. Eles são consecutivos, porque um vem ao lado do outro na sequência dos números inteiros. Ao somar os três, temos:
x-1+x+x-1
x+x+x +1-1
x+x+x
3x
Por ter dado 3x, toda soma de três números consecutivos é divisível por 3
Respondido por solkarped
9

✅ Após finalizar a demonstração, concluímos que a soma de três números inteiros consecutivos sempre é divisível por:

                            \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf 3\:\:\:}}\end{gathered}$}

Seja a proposição:

  "A soma de três números inteiros consecutivos é divisível por 3."

Sendo o conjunto universo o conjunto dos Inteiros, ou seja:

                              \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\cup = \mathbb{Z} \end{gathered}$}

Se temos três números consecutivos, então temos:

                \Large\begin{cases}x = n\\ y = n + 1\\z = n + 1 + 1 = n + 2\end{cases}

Desta forma a soma dos três números pode ser escrito da seguinte forma:

                          \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}S_{3} = x + y + z \end{gathered}$}

Reescrevendo a proposição inicial na forma "se/então", temos:

          \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\underbrace{Se\:S_{3}\:consecutivos}_{\bf Hip\acute{o}tese = p},\:\underbrace{ent\tilde{a}o\:S_{3}/3}_{\bf Tese = q} \end{gathered}$}

Para provar isto irei utilizar a técnica de demonstração direta.

Então, temos:

                                   \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} p\Longrightarrow q\end{gathered}$}

                                  \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}S_{3} \Longrightarrow \frac{S_{3}}{3}  \end{gathered}$}

Desta forma, temos:

\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$}               \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}S_{3} = x + y + z \end{gathered}$}

                          \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= n + (n + 1) + (n + 2) \end{gathered}$}

                          \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= n + n + 1 + n + 2 \end{gathered}$}

                          \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 3n + 3 \end{gathered}$}

                          \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 3\cdot\underbrace{(n + 1)}_{\bf k} \end{gathered}$}

Portanto, temos que:

\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$}              \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}S_{3} = 3k,\:\:\:\forall k\in\mathbb{Z} \end{gathered}$}

Como o segundo membro da equação "III" é um múltiplo de "3", significa dizer que o segundo membro da referida equação é divisível por "3", ou seja:

                    \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}S_{3}\:\acute{e}\:divisivel\:por\:3 \end{gathered}$}

Se:

                                 \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}S_{3} = 3k \end{gathered}$}

Então:

                                   \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{3k}{3} = k \end{gathered}$}

✅ Portanto, concluímos que a soma de três números inteiros consecutivos sempre será:

                           \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}divisivel\:por\:3 \end{gathered}$}

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