Question

Maria Luiza gosta muito de álgebra, em especial, adora resolver problemas envolvendo equações paramétricas. Em um de seus livros favoritos de álgebra, ela encontrou o seguinte desafio.

"As raízes x¹ e x² da equação paramétrica 3x² - 5x + p = 2 são tais que a soma dos inversos das mesmas é igual a 5/2. Descubra o valor do parâmetro p."

Encontre o valor do parâmetro p.

Answer 1

Bom dia Beatriz 

3x² - 5x + p = 2 
3x² - 5x + p - 2 = 0

relações de Girard

soma das raízes S = 5/3
produto das raízes  P = (p - 2)/3 

soma dos inversos

Si = 1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2)/(x1 * x2) = S/P

S/P = 5/2

(5/3)/((p - 2)/3) = 5/2

5/(p - 2) = 5/2
5p - 10 = 10

5p = 20
p = 20/5 = 4 

Answer 2

3.x² - 5.x + p = 2

3.x² - 5.x + p - 2 = 0

x' + x'' = -b/a
x' + x'' = 5/3

x'.x'' = c/a
x'.x'' = (p - 2)/3

$\frac{1}{x'} + \frac{1}{x''} = \frac{5}{2} \\ \\ \frac{2x'' + 2x'}{2.x'.x''} = \frac{5.x'.x''}{2.x'.x''} \\ \\ 2x''+2x' = 5x'.x'' \\ \\ 2(x''+x') = 5.x'.x'' \\ \\ 2.( \frac{5}{3})=5.\frac{(p-2)}{3} \\ \\ 10 = 5.p - 10 \\ \\ 5.p = 10 + 10 \\ \\ 5.p = 20 \\ \\ p = \frac{20}{5} \\ \\ p = 4$

Espero ter ajudado.