Question

(Mackenzie-SP) A equação 3x³ + 4x² — 3x — 4 = 0 possui exatamente:a) uma raiz irracional.b) duas raízes irracionais.c) duas raízes inteiras.d) três raízes inteiras.e) duas raízes não reais.

Answer 1

Olá.

 

Temos a equação:

 

$\mathsf{3x^3+4x^2-3x-4=0}$

 

Para a resolução dessa questão, devemos aplicar conceitos de fatoração, mais especificamente “fatoração por evidência”.

 

“Fatoração por evidência” consiste basicamente em dividir uma certa quantidade de termos isolados (pode ser um monômio, binômio, trinômio, ...) por um outro termo, onde esse último fica multiplicando aqueles que dividiu por fora de parênteses. Ex.:

 

$\mathsf{an+bn^2+cn^3=n(a+bn+cn^2)}$

 

O primeiro a ser fatorado será o 3x³ + 4x², onde colocarei x² em evidência. Teremos:

 

$\mathsf{3x^3+4x^2-3x-4=0}\\\\ \mathsf{x^2(3x+4)-3x-4=0}$

 

Analisando essa equação na forma parcialmente fatorada é possível perceber que o valor dentro de parênteses se assemelha a -3x – 4, a não ser pelos sinais (um positivo, outro negativo). Para igualar totalmente, também podemos deixar o sinal em evidência. Teremos:

 

$\mathsf{x^2(3x+4)-3x-4=0}\\\\ \mathsf{x^2(3x+4)-(3x+4)=0}$

 

Tendo (3x + 4) repetido, podemos o colocar em evidência. Teremos:

 

$\mathsf{x^2(3x+4)-(3x+4)=0}\\\\ \mathsf{(3x+4)\left(x^2-1\right)=0}$

 

Obs.: Foi colocado “-1”, pois quando multiplicar (3x + 4) por -1, teria –(3x + 4), como havia começado.

 

Tendo uma multiplicação entre binômios igualada a zero, podemos igualar cada binômio a zero, buscando as raízes dessa equação. Teremos:

 

$\begin{cases} \mathsf{Eq~1:}&\mathsf{3x+4=0}\\\\ \mathsf{Eq~2:}&\mathsf{x^2-1=0} \end{cases}$

 

Resolvendo a Eq 1 primeiro, teremos uma das raízes.

 

$\mathsf{3x+4=0}\\\\ \mathsf{3x=-4}\\\\ \boxed{\mathsf{x_1=\dfrac{-4}{3}}}$

 

Resolvendo a Eq 2, que tem uma incógnita ao quadrado, teremos dois valores possíveis. Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{x^2-1=0}\\\\ \mathsf{x^2=1}\\\\ \mathsf{x=\pm\sqrt{1}}\\\\ \mathsf{x=\pm1}\\\\\\ \mathsf{x_2=1}\\\\ \mathsf{x_3=-1}$

 

Com isso, temos as seguintes raízes:

 

$\begin{cases} \mathsf{x_1=\dfrac{-4}{3}}\\\\ \mathsf{x_2=1}\\\\ \mathsf{x_3=-1} \end{cases}$

 

Analisando as raízes, é possível afirmar que:

 

- Não há raízes irracionais, logo, as alternativas A, B e E são inválidas.

- Existem duas raízes inteiras e uma racional. Com isso, podemos afirmar que a resposta correta está na alternativa C.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$