Question

Integral ? Por substituição ?$\int\limits { \sqrt{ \frac{1+ \sqrt{x} }{x} } } \, dx$

Answer 1

Antes de partirmos para a integral, analisemos primeiramente a função a ser integrada e o seu domínio:

$f(x)=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{x}}{x}}$

____________________________

$\bullet\;\;$ Encontrando o domínio de $f:$

Bom, todos os termos envolvidos em raízes quadradas não podem ser negativos. Então, devemos ter

$x\ge 0\\\\ \dfrac{1+\sqrt{x}}{x}\ge 0$


Uma vez que $x\ge 0,\,$ já garantimos que

$\sqrt{x}\ge 0~~\Rightarrow~~1+\sqrt{x}\ge 1\\\\ \therefore~~1+\sqrt{x}>0$


Para que a fração $\dfrac{1+\sqrt{x}}{x}$ seja positiva, basta que o sinal do denominador seja sempre positivo, pois o numerador já é. Ou seja, devemos ter necessariamente

$\boxed{\begin{array}{c}x>0 \end{array}}$


Portanto, o domínio de $f$ são todos os reais positivos:

$D_f=\mathbb{R}_{+}^{*}=\;]0,\,\infty[$

____________________________

$\bullet\;\;$ Uma vez que garantimos que $x$ sempre é positivo, podemos desmembrar a raiz do quociente como o quociente das raízes:

$f(x)=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{x}}{x}}=\dfrac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}~~~~\text{para todo }x>0$


Logo, podemos escrever a integral assim:

$\displaystyle\int\!\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{x}}{x}}\,dx\\\\\\ =\int\!\dfrac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx\\\\\\ =\int\! 2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx\\\\\\ =2\int\! \dfrac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\,dx\\\\\\ =2\int\! \sqrt{1+\sqrt{x}}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx~~~~~~\mathbf{(i)}$


Fazendo a seguinte substituição:

$1+\sqrt{x}=u~~\Rightarrow~~\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx=du$


e a integral $\mathbf{(i)}$ fica

$=2\displaystyle\int\! \sqrt{u}\,du\\\\\\ =2\int\! u^{1/2}\,du\\\\\\ =2\cdot \dfrac{u^{(1/2)+1}}{\frac{1}{2}+1}+C\\\\\\ =2\cdot \dfrac{u^{3/2}}{\frac{3}{2}}+C\\\\\\ =2\cdot \dfrac{2}{3}\,u^{3/2}+C\\\\\\ =\dfrac{4}{3}\,u^{3/2}+C$


Voltando para a variável original $x:$

$=\dfrac{4}{3}\left(1+\sqrt{x} \right)^{\!3/2}+C\\\\\\ =\dfrac{4}{3}\sqrt{\left(1+\sqrt{x} \right)^{\!3}}+C \\\\\\ \therefore~~\boxed{ \begin{array}{c} \displaystyle\int\! \sqrt{\dfrac{1+\sqrt{x}}{x}}=\dfrac{4}{3}\sqrt{\left(1+\sqrt{x} \right)^{\!3}}+C \end{array} }$