Question

integral com intervalo de -1 a 1 da função (x^2 . dx) / raiz(x^3+9)

Answer 1

$\sf \int_{ - 1}^{ 1} \frac{x {}^{2} }{ \sqrt{x {}^{3} + 9 } } dx$

Para resolver essa integral definida, vamos usar o método da substituição, esse método deve ser usado quando se tem a função e a sua derivada em uma mesma integral. Se você observar a derivada da função do denominador é igual a função do numerador, então podemos de fato usar esse método.

$\sf u = x {}^{3} + 9$

Derivando "u" em relação a "x":

$\sf \frac{du}{dx} = 3x {}^{2} \\ \sf du = 3x {}^{2}. dx$

Mas em nenhum local da função temos 3x², então passaremos o 3 dividindo o du para forçar o aparecimento de x²dx:

$\sf \frac{du}{3} = x {}^{2} dx$

Substituindo os valores que montamos com a variável "u":

$\sf \int_{ - 1}^{ 1} \frac{ \frac{du}{3} }{ \sqrt{u} }$

À frente do du/3 tem-se um 1 que está subtendido, ou seja, tem-se 1/3 e de acordo com uma das regras de integrais, sabemos que um valor constante pode transitar livremente para dentro e fora da integral, logo:

$\sf \frac{1}{3} \sf \int_{ - 1}^{ 1} \frac{ du }{ \sqrt{u} }$

No denominador podemos usar a regra de potenciação/radiciação, dada por:

$\sf \sqrt[m]{a {}^{n} } = a {}^{ \frac{n}{m} }$

Aplicando:

$\sf \frac{1}{3} \sf \int_{ - 1}^{ 1} \frac{ du }{u {}^{ \frac{1}{2} } }$

Através de outra propriedade podemos transformar essa fração em um termo com expoente negativo e fracionário, com a ajuda da seguinte relação:

$\sf \frac{1}{a {}^{n} } = a {}^{ - n}$

Então:

$\sf \frac{1}{3} \sf \int_{ - 1}^{ 1} u {}^{ - \frac{1}{2} } du$

Agora chegamos em uma integral básica de se resolver, pois basta lembrar da regra da potência para as integrais, dada por:

$\boxed{ \sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} }$

Aplicando:

$\sf \frac{1}{3} \sf \int_{ - 1}^{ 1} \frac{u {}^{ - \frac{1}{2} + 1 } }{ - \frac{1 }{2} + 1 } \\ \\ \sf \frac{1}{3} \int_{ - 1}^{ 1} \frac{u {}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } \\ \\ \sf\frac{1}{3} \sf \int_{ - 1}^{ 1} \frac{u {}^{ \frac{1}{2} } }{1} . \frac{2}{1} \\ \\ \sf \frac{1}{3} \sf \int_{ - 1}^{ 1} 2 \sqrt{u}$

Repondo o "valor" de "u":

$\sf \frac{1}{ 3} \sf \int_{ - 1}^{ 1} 2 \sqrt{x {}^{3} + 9 }$

Agora é so aplicar o Teorema fundamental do cálculo:

$\sf \frac{1}{3} .2 \sqrt{(1) {}^{3} + 9} - \frac{1}{3} .2 \sqrt{( - 1) {}^{3} + 9 } \\ \\ \sf \frac{2 \sqrt{1 + 9} }{3} - \frac{2 \sqrt{ - 1 + 9} }{3} \\ \\ \sf\frac{2 \sqrt{10} }{3} - \frac{2 \sqrt{8} }{3}$

Espero ter ajudado