Question

Imagine que uma pessoa lhe disse que foi descoberto um pequeno
planeta com período de 8 anos e cuja distância estimada deste planeta ao
Sol é de 2u.a. . Construa a resposta para os questionamentos:
I – caso este planeta existisse, seu movimento descrito estaria de
acordo com a lei dos períodos de Kepler?
II – Qual é a velocidade orbital esperada para este planeta,
considerando que seu raio orbital está correto?

Answer 1

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A 3ª Lei de Kepler (ou Lei dos Períodos) afirma que, para corpos orbitando ao redor de um mesmo corpo central,

"a razão entre o quadrado do período de revolução e o cubo do raio orbital médio é uma constante."


Tal constante depende apenas da massa do corpo central (no caso do nosso problema, a massa do Sol).


Escrevendo em forma de equação, sendo $\mathsf{T}$ o período de revolução e $\mathsf{r}$ o raio médio da órbita, devemos ter

$\mathsf{\dfrac{T^2}{r^3}=k\qquad\quad}\mathsf{(k=constante)}\qquad\quad\checkmark$

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Para corpos orbitando o Sol:

Se tivermos o período de revolução dado em anos terrestres, e o raio médio em unidades astronômicas, o valor da constante da 3ª Lei de Kepler é igual a 1.

$\mathsf{k=1~\dfrac{(ano)^2}{(u.a.)^3}}$


e este valor pode ser obtido simplesmente tomando o planeta Terra como referência, para o qual temos

•   $\mathsf{T=1~ano;}$

•   $\mathsf{r=1~u.a.}$

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I)

Para o planeta descoberto no enunciado desta tarefa, foram dados

•   período de revolução:   $\mathsf{T=8~}\textsf{anos terrestres;}$

•   raio orbital médio:   $\mathsf{r=2~u.a.}$


Supondo que existisse tal planeta, vamos verificar se seu movimento satisfaz a 3ª Lei de Kepler:

$\mathsf{\dfrac{T^2}{r^3}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{8^2}{2^3}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{64}{8}}\\\\\\ =\mathsf{8\gg 1}\qquad\quad(\diagup\!\!\!\!\!\diagdown)$


O movimento descrito por este planeta não está de acordo com a Lei dos Períodos de Kepler.

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II)  Calculando a velocidade orbital, supondo que o valor de $\mathsf{r}$ está correto.


Primeiro, encontremos o valor correto para o período deste planeta:

$\mathsf{\dfrac{T^2}{r^3}=1}\\\\\\ \mathsf{T^2=r^3}\\\\ \mathsf{T=\sqrt{r^3}}\\\\ \mathsf{T=\sqrt{2^3}}$

$\mathsf{T=2\sqrt{2}~anos}\\\\ \mathsf{T\approx 2,\!83~anos.}\qquad\quad\checkmark$


A velocidade orbital esperada é dada por

$\mathsf{v=\dfrac{2\pi r}{T}}\\\\\\ \mathsf{v=\dfrac{2\pi \cdot \diagup\!\!\!\! 2}{\diagup\!\!\!\!2\sqrt{2}}}\\\\\\ \mathsf{v=\dfrac{2\pi}{\sqrt{2}}}$

$\mathsf{v=\sqrt{2}\,\pi}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{v\approx 4,\!44~u.a./ano} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


Bons estudos! :-)