Question

help nesse limite, $\lim_{n \to \infty} \frac{2^{3n} }{9^{n+1}}$

Answer 1

Simplificamos a fração de forma a obtermos um número elevado a $n$.
$\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2^{3n}}{9^{n+1}} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{(2^{3})^{n}}{9^{n+1}} = \dfrac{1}{9}\lim\limits_{n\to\infty} \left(\dfrac{8}{9}\right)^{n}.$

Uma vez que $\dfrac{8}{9}<1$, concluímos que $\left(\dfrac{8}{9}\right)^{n}\to 0$ quando $n\to\infty.$

Assim:
$\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2^{3n}}{9^{n+1}} = \dfrac{1}{9}\times 0 = 0.$