Question

Geometria Analítica
Estude a posição relativa das retas!!!

Answer 1

Passando as equações das retas $r$ e $s$ para a forma vetorial, obtemos

$r:~~(x,\;y,\;z)=(1,\;5,\;-2)+\lambda\,(3,\;3,\;5)\\\\ s:~~(x,\;y,\;z)=(0,\;0,\;1)+\mu\,(1,\;-1,\;4)$


Os vetores diretores de $r$ e $s$ são respectivamente

$\overrightarrow{\mathbf{v}}=(3,\;3,\;5)~~\text{ e }~~\overrightarrow{\mathbf{w}}=(1,\;-1,\;4).$


Como $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ não são paralelos, já podemos afirmar que $r$ e $s$ não são nem paralelas, nem coincidentes.
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Se $r$ e $s$ forem concorrentes, então existe um único ponto $P(x_{_{0}},\;y_{_{0}},\;z_{_{0}})$ que satisfaz simultaneamente a equação das duas retas, para algum $\lambda$ e algum $\mu$ reais:

$\left\{\! \begin{array}{l} (x_{_{0}},\;y_{_{0}},\;z_{_{0}})=(1,\;5,\;-2)+\lambda\,(3,\;3,\;5)\\\\ (x_{_{0}},\;y_{_{0}},\;z_{_{0}})=(0,\;0,\;1)+\mu\,(1,\;-1,\;4) \end{array} \right.\\\\\\\\ \left\{\! \begin{array}{l} (x_{_{0}},\;y_{_{0}},\;z_{_{0}})=(1+3\lambda,\;5+3\lambda,\;-2+5\lambda)\\\\ (x_{_{0}},\;y_{_{0}},\;z_{_{0}})=(\mu,\;-\mu,\;1+4\mu) \end{array} \right.$


Igualando coordenada a coordenada do lado direito das duas equações, devemos ter

$\left\{\! \begin{array}{lc} 1+3\lambda=\mu&~~~~~~\mathbf{(i)}\\\\ 5+3\lambda=-\mu&~~~~~~\mathbf{(ii)}\\\\ -2+5\lambda=1+4\mu&~~~~~~\mathbf{(iii)} \end{array}\right.$


Somando as equações $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)}$ membro a membro, obtemos

$(1+3\lambda)+(5+3\lambda)=\mu-\mu\\\\ 6+6\lambda)=0\\\\ 6\lambda=-6\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\lambda=-1 \end{array}}$


Substituindo na equação $\mathbf{(iii)}$ o valor de $\lambda$ encontrado, obtemos

$-2+5\cdot (-1)=1+4\mu\\\\ -2-5=1+4\mu\\\\ -7=1+4\mu\\\\ 4\mu=-7-1\\\\ 4\mu=-8\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \mu=-2 \end{array}}$


Verificamos que os valores encontrados para $\lambda$ e $\mu$ satisfazem simultaneamente as equações $\mathbf{(i)},$ $\mathbf{(ii)}$ e $\mathbf{(iii)}.$


Sendo assim, existe o ponto $P$ que é a interseção entre as retas $r$ e $s:$

$P=(1,\;5,\;-2)+\lambda\,(3,\;3,\;5)\\\\ P=(1,\;5,\;-2)+(-1)\,(3,\;3,\;5)\\\\ P=(1,\;5,\;-2)+(-3,\;-3,\;-5)\\\\ P=(1-3,\;5-3,\;-2-5)\\\\ \boxed{\begin{array}{c}P=(-2,\;2,\;-7) \end{array}}$


Como $r$ e $s$ têm o ponto $P$ em comum, concluímos que

as retas $r$ e $s$ são concorrentes.