Question

(G1 - cftmg 2014) Nessa figura, ABCD é um retângulo cujos lados medem b e 2b. O ponto R pertence aos segmentos AC e BD e, ARDS é um quadrilátero em que M é ponto médio do segmento RS.

Answer 1

Vamos calcular o segmento AR. Seja D a diagonal do retângulo
AR=D/2
AR=b√5/2
Segmento AM=2b/2=b e por fim MR=b/2
Como AR=RD e AM é ponto médio de SR, logo os outros dois lados também são iguais AS=SC=AR=RD. Podemos concluir que os ângulos são iguais. 
M^RD=M^SD=x
Vamos calcular o seno deste ângulo e aplicá-lo ao segmento MP
senx=MD/RD=2/√5
Agora vamos aplicar em MP
senx=MP/MD =>2/√5=2MP/b
Isolando MP temos:
b/√5=MP
Racionalizando o denominador temos:
MP=b√5/5