Question

(Fgv 2009) Resolvendo a equação log2(sen x) = log4(cos x) no intervalo 0º < x < 90º o valor de x tal que:

A
45º < x < 60º

B
30º < x < 45º

C
0º < x < 30º

D
75º < x < 90º

E
60º < x < 75º

Answer 1

$\displaystyle \text{log}_{\ \displaystyle 2} \ \text{sen x}=\text{log}_{\displaystyle 4} \ \text{cos x} \\\\ \underline{\text{fazendo mudan{\c c}a de base na direita}}: \\\\ \text{log}_{\displaystyle \ \text a}\ \text b = \frac{\text{log}_{\displaystyle \ \text c}\ \text b}{\text{log}_{\displaystyle \ \text c} \ \text a } \\\\\\ \underline{\text{fazendo c = 2}:}\\\\ \text{log}_{\displaystyle \ \text 2}\ \text{sen x} = \frac{\text{log}_{\displaystyle \ 2} \ \text{cos x}}{\text{log}_{\displaystyle \ 2 }\ 4}$

$\displaystyle \text{log}_{\displaystyle \ 2 }\ \text{sen x }= \frac{1}{2}.\text{log}_{\displaystyle \ 2} \ \text{cos x} \\\\\\ \text{log}_{\displaystyle \ 2}\ \text{sen x } = \text{log}_{\displaystyle \ 2} \ \text{(cos x)}^{\frac{1}{2}} \\\\\\ \text{sen x }= \sqrt{\text{cos(x)}}$

Se 0º < x < 90º então sen x > 0 e cos x > 0, então não precisamos nos preocupar com módulo.

Elevando ao quadrado dos dois lados :

$\displaystyle \text {sen}^2 \ \text x= \text{cos x} \\\\ 1-\text{cos}^2 \ \text x=\text{cos x} \\\\ \text{cos}^2 \ \text x+\text{cos x}-1 = 0 \\\\ \text{cos x}=\frac{-1+\sqrt{1-4.(-1)}}{2} \\\\\ \boxed{\text{cos x} =\frac{\sqrt{5}-1}{2} \ \approx \ 0,61}$

Uma análise rápida :

$\displaystyle \text{cos 45}^\circ = \frac{\sqrt 2}{2} \approx 0,7 \ \ \ ; \ \ \ \text{cos 60}^\circ = \frac{1}{2} = 0,5$

Portanto :

$\text{cos 45}^\circ > \text{cos x}> \text{cos 60}^\circ$

$\huge\boxed{45^\circ < \text x < 60^\circ\ }\checkmark$

letra A