Faça o gráfico da função y = 5x-2, sabendo-se que x=0, x= 1 e x = 2.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Funções são regras que ligam cada elemento de um conjunto a um único elemento de outro conjunto. Quando se trata de conjuntos numéricos, essas funções assemelham-se a equações que relacionam os elementos de um conjunto a outro por meio de suas variáveis. Uma função é crescente quando, aumentando-se os valores atribuídos ao domínio, os valores do contradomínio ficam cada vez maiores; caso contrário, a função é decrescente.
Para melhor compreender essas definições, veja alguns exemplos. Observe:
Funções crescentes
Um exemplo de função crescente é a função y = 4x + 5. Para perceber isso, observe a tabela a seguir:
Observe que o valor de x, a cada linha, é aumentado em uma unidade. Consequentemente, realizando-se os cálculos de y a partir da função dada, percebemos que, a cada linha, o valor dessa variável aumenta em quatro unidades.
Assim, quando o valor de x aumenta, o valor de y também aumenta. Por essa razão, a função é crescente. Além disso, apenas observando o gráfico dessa função, é possível perceber que ela é crescente, pois, quanto mais à direita, mais alta a reta fica.
Também é possível dizer que uma função é crescente quando, diminuindo-se os valores de x, os valores de y diminuem também.
Exemplo:
Mostre que a função y = 7x + 1 é crescente.
Se x = 0
y = 7x + 1 = 7·0 + 1 = 1
Se x = 1
y = 7x + 1 = 7·1 + 1 = 8
Como o valor de y aumenta quando aumentamos o valor de x, a função é crescente.
Resposta:
SOBRE FUNÇÃO LOGARÍTMICA
EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÃO LOGARÍTMICA
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
Ao resolver estes exercícios sobre função logarítmica, é necessário analisar as condições de existência do domínio e o tipo de gráfico, além de realizar operações com logaritmos.
Por Amanda Gonçalves Ribeiro
Questão 1
Estabeleça o domínio das funções a seguir:
a) y = log3 (x – ½)
b) y = log(x – 1) (– 3x + 9)
c) y = log(x + 2) (x² – 4)
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Questão 2
Construa o gráfico das funções:
a) y = log2 x
b) y = log1/2 x
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Questão 3
O anúncio de certo produto aparece diariamente num certo horário na televisão. Após t dias do início da exposição (t exposições diárias), o número de pessoas (y) que ficam conhecendo o produto é dado por y = 3 – 3.(0,95)t, em que y é dado em milhões de pessoas.
a) Para que valores de t teremos pelo menos 1,2 milhões de pessoas conhecendo o produto?
b) Faça o gráfico de y em função de t.
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Questão 4
Um capital de R$ 12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre:
a) O capital acumulado após dois anos.
b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial.
(Se necessário, use log 2 = 0,301 e log 1,08 = 0,033).
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Resposta - Questão 1
a) Para a função y = log3 (x – ½), temos apenas uma restrição:
x – ½ > 0 → x > ½
Então, o domínio da função logarítmica é D = {x
| x > ½}.
b) Para a função y = log(x – 1) (– 3x + 9), temos as restrições:
– 3x + 9 > 0 → – 3x > – 9 → x < 3
x – 1 > 0 → x > 1
x – 1 ≠ 1 → x ≠ 2
Portanto, o domínio da função logarítmica y é D = {x
| 1 < x < 2 ou 2 < x < 3}
c) Para a função y = log(x + 2) (x² – 4), temos as restrições:
x² – 4 > 0 → x > √4 → x < – 2 ou x > 2
x + 2 > 0 → x > – 2
x + 2 ≠ 1 → x ≠ – 1
O domínio da função logarítmica y é D = {x
| x > 2 ou x ≠ – 1}
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Resposta - Questão 2
a) Como a = 2 > 1, já sabemos que se trata de uma função crescente. Vamos escolher alguns valores de x para calcular os valores de y e montar o gráfico da função logarítmica:
Gráfico da função y = log2 x
b) Como a = ½ < 1, estamos trabalhando com uma função decrescente. Vamos escolher alguns valores de x para calcular os valores de y e montar o gráfico da função logarítmica:
Gráfico da função y = log1/2 x
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Resposta - Questão 3
a) Queremos encontrar o valor de t para y ≥ 1,2. Vamos então substituir esse valor de y na função:
3 – 3.(0,95)t = y
3 – 3.(0,95)t ≥ 1,2
– 3.(0,95)t ≥ 1,2 – 3
3.(0,95)t ≤ 1,8
(0,95)t ≤ 1,8
3
(0,95)t ≤ 0,6
Para resolver essa inequação, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação:
log (0,95)t ≤ log 0,6
t . log (0,95) ≤ log 0,6
t ≤ log 0,6
log 0,95
t ≤ 9,95
Portanto, em até 10 dias, 1,2 milhões de pessoas terão visto o anúncio do produto.
b) y = 3 – 3.(0,95)t é uma função crescente e o gráfico da função logarítmica é:
Gráfico da função y = 3 – 3.(0,95)t
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Resposta - Questão 4
a) O capital acumulado após um ano pode ser calculado através da fórmula de juros compostos:
M = C . (1 + i)t
Sendo C o capital de R$ 12.000,00, i a taxa de juros de 0,08 e t o tempo de 2 anos, temos:
M = C . (1 + i)t
M = 12000 . (1 + 0,08)2
M = 12000 . 1,082
M = 13996,8
Então, após dois anos, o capital acumulado foi de R$ 13.996,80.
b) Considere x como o número de anos, i como a taxa de juros de 0,08, C como o capital inicial e M como o montante que deverá ser maior que o dobro do capital inicial, sendo assim, teremos:
C . (1 + i)t > M
C . (1 + i)t > 2C
(1 + i)t > 2
(1 + 0,08)t > 2
1,08t > 2
Aplicando o logaritmo em ambos os lados da inequação, teremos:
log 1,08t > log 2
t . log 1,08 > log 2
t > log 2
log 1,08
t > 0,301
0,033
t > 9,121
Portanto, será necessário o mínimo de 10 anos para que o capital acumulado seja o dobro do capital inicial