Question

Expresse os seguintes como combinações lineares de: u = (2, 1, 4), v = (1, −1, 3) e w = (3, 2, 5)
(a) (−9, −7, −15)
(b) (6, 11, 6)​​​

Answer 1

Resposta:

a)   (-9 , -7 , -15) = -2u + v - 2w

b)   (-9 , -7 , -15) = 4u - 5v + w

Explicação passo a passo:

Fazer a combinação linear de vetores, consiste em identificar coeficientes escalares que multiplicam cada um dos vetores e obtem um novo vetor como resultado.

u = (2,1,4)       v = (1, −1,3)       w = (3,2,5)      Vetores a serem combinados.

Vou utilizar a notação matricial para facilitar a identificação dos sistemas de equações lineares.   Os coeficientes serão α, β e π

a = (-9 , -7 , -15)          a = αu + βv + πw

$\left[\begin{array}{c}-9\\-7\\-15\end{array}\right] = \alpha \left[\begin{array}{c}2\\1\\4\end{array}\right] + \beta \left[\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right] + \pi \left[\begin{array}{c}3\\2\\5\end{array}\right]\\ \\\\ \left[\begin{array}{c}-9\\-7\\-15\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2\alpha \\\alpha \\4\alpha \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}\beta \\-\beta \\3\beta \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}3\pi \\2\pi \\5\pi \end{array}\right]$

Equação 1:   2α + β + 3π = -9                       Tem vários métodos de

Equação 2:   α - β + 2π = -7                          resolução de sistemas

Equação 3:   4α + 3β + 5π = -15                   lineares. Pode escolher o que

                                                                      achar mais adequado.

E₁ + E₂    ⇒          2α + β + 3π = -9                      

                              α - β + 2π = -7      +

                          _________________

                           3α + 0 + 5π = -9           ⇒       3α + 5π = -16      (E₄)

________________________________________________________

3E₁ - E₃     ⇒         6α + 3β + 9π = -27                      

                             4α + 3β + 5π = -15     -

                          _________________

                            2α + 0 + 4π = -12           ⇒       2α + 4π = -12      (E₅)

______________________________________________________

3E₅ - 2E₄    ⇒         6α + 12π = -36

                               6α + 10π = -32        -

                          _________________

                                 0 + 2π = - 4           ⇒       2π = -4     ∴    π = -4/2     ∴    

                                                                                                 π = -2

_______________________________________________________

Substitui π na E₄:      3α + 5π = -16     ∴     3α + 5 · (-2) = -16    ∴    

                                  3α -10 = -16    ∴     3α  = -16 + 10     ∴     3α  = -6     ∴    

                                  α = -6/3   ∴      α = -2

Substitui α e π na E₁:    

2α + β + 3π = -9    ∴      2 · (-2) + β + 3 · (-2) = -9      ∴       -4 + β - 6 = -9  

β - 10 = -9      ∴       β  = -9 + 10     ∴      β  = 1

(-9 , -7 , -15) = -2u + v - 2w

_______________________________________________________

b = (6 , 11 , 6)          b = αu + βv + πw

$\left[\begin{array}{c}6\\11\\6\end{array}\right] = \alpha \left[\begin{array}{c}2\\1\\4\end{array}\right] + \beta \left[\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right] + \pi \left[\begin{array}{c}3\\2\\5\end{array}\right]\\ \\\\ \left[\begin{array}{c}6\\11\\6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2\alpha \\\alpha \\4\alpha \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}\beta \\-\beta \\3\beta \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}3\pi \\2\pi \\5\pi \end{array}\right]$

Equação 1:   2α + β + 3π = 6                      

Equação 2:   α - β + 2π = 11                        

Equação 3:   4α + 3β + 5π = 6                  

                                                                   

E₁ + E₂    ⇒          2α + β + 3π = 6                      

                              α - β + 2π = 11      +

                          _________________

                           3α + 0 + 5π = 17           ⇒       3α + 5π = 17      (E₄)

________________________________________________________

3E₁ - E₃     ⇒         6α + 3β + 9π = 18                      

                             4α + 3β + 5π = 6     -

                          _________________

                            2α +  0 +  4π = 12         ⇒       2α + 4π = 12      (E₅)

______________________________________________________

3E₅ - 2E₄    ⇒         6α + 12π = 36

                               6α + 10π = 34        -

                          _________________

                                 0 + 2π = 2              ⇒       2π = 2     ∴    π = 2/2     ∴    

                                                                                                 π = 1

_______________________________________________________

Substitui π na E₅:      2α + 4π = 12     ∴     2α + 4 · 1 = 12    ∴    

                                  2α + 4 = 12       ∴     2α  = 12 - 4        ∴     2α  = 8     ∴    

                                  α = 8/2   ∴      α = 4

Substitui α e π na E₁:    

2α + β + 3π = 6    ∴      2 · 4 + β + 3 · 1 = 6      ∴       8 + β + 3 = 6  

β + 11 = 6      ∴       β  = 6 - 11     ∴      β  = -5

(-9 , -7 , -15) = 4u - 5v + w

_______________________________________________________