Question

etermine os zeros das seguintes funções quadráticas: a) f(x) = 3x² – 7x + 4 = 0 b) f(x) = x² – 4x – 5 = 0 Gente eu preciso disso urgente, alguém me ajuda plmrdDs

Answer 1

Resposta:

a) x₁ = 1 e x₂ = 4/3

b) x₁ = -1 e x₂ = 5

Demonstração da Fórmula Quadrática (Fórmula de Bhaskara):

Consideremos a equação f(x) = a.x² + b.x + c / (a, b e c ∈ R e a ≠ 0).

Como queremos os zeros temos f(x) = 0 ⇒ a.x² + b.x + c = 0

Dividindo os 2 lados por a:

(a.x² + b.x + c)/a = 0/a ⇒ a.x²/a + b.x/a + c/a = 0/a ⇒ x² + b.x/a = - c/a

Utilizando o produto notável:  (m + n)² = m² +2.m.n + n². Podemos dizer que:

x = m  e 2.m.n = b.x/a, substituindo chegamos em:

2.x.n = b.x/a ⇒ n = b/2.a

Agora somamos n² nos 2 lados da equação:  x² + b.x/a = -c/a para que possamos deixar o produto notável na forma reduzida.

x² + b.x/a + n² =  n² - c/a  ⇒  x² + b.x/a + (b/2.a)² = (b/2.a)² - c/a

Agora podemos reduzir o  x² + b.x/a + (b/2.a)² em (x + b/2.a)², colocando na equação:

x² + b.x/a + (b/2.a)² = (b/2.a)² - c/a ⇒ (x + b/2.a)² = (b/2.a)² - c/a ⇒

Agora tiramos a raiz quadrada dos 2 lados:

√[(x + b./2.a)²] = √[(b/2.a)² - c/a]

Devemos lembrar que, se k² = 4 ⇒ k = |2| ∴ k =  ± 2, então temos:

x + b/2.a= ±√[(b/2.a)² - c/a], isolando o x: x = - b/2.a ±√[(b/2.a)² - c/a].

Modificando o ±√[(b/2.a)² - c/a] ⇒  ±√[(b²/4.a² - c/a] ⇒

Deixando os 2  na mesma base temos: ±√[(b²)/4.a² - (4.a.c)/4.a²]  ⇒

±√[(b²- 4.a.c)/4.a²]  ⇒  ±√(b²- 4.a.c)/2.a

Substituindo na equação: x = - b/2.a ±√[(b/2.a)² - c/a] ⇒

 x = - b/2.a ±√(b²- 4.a.c)/2.a  ⇒  x = [- b ±√(b²- 4.a.c)]/2.a.

Para simplificarmos a notação: Δ Ξ b²- 4.a.c.

x = [- b ±√(b²- 4.a.c)]/2.a  ⇒  x = (- b ±√Δ)/(2.a)

Resolução:

a) 3.x² – 7.x + 4 = 0

a = 3, b = -7 e c = 4

Δ = b²- 4.a.c  ⇒ (-7)² - 4.3.4  = 49 - 48  ⇒ Δ = 1

x = [- (-7) ± √1]/2.3 = (7 ± 1)/6  ⇒ x₁ = 6/6 e x₂ = 8/6  ∴

x₁ = 1 e x₂ = 4/3

b) x² – 4.x – 5 = 0

a = 1, b = -4 e c = -5

Δ = b²- 4.a.c  ⇒ (-4)² - 4.1.-5  = 16 + 20 ⇒ Δ = 36

x = [- (-4)  ± √36]/2.1 = 4 ± 6/2 ⇒ x₁ = -2/2 e x₂ = 10/2 ∴

x₁ = -1 e x₂ = 5