Question

(ESPM - SP) Qual é o valor de "y" no sistema


$\Large\begin{cases}\sf (0{,}2)^{5^{}x+y}=5\\ \sf (0{,}5)^{2^{}x-y}=2\end{cases}\\\\\\\\\\ \large\begin{array}{l}\sf a)\ \dfrac{-5}{2}\qquad\qquad\qquad d)\ \dfrac{3}{5}\\\\\\ \sf b)\ \dfrac{2}{7}\qquad\qquad\qquad\ \ \, e)\ \dfrac{3}{7}\\\\\\\sf c)\ \dfrac{-2}{5}\end{array}$

Answer 1

⠀⠀O valor de “$\smally$” no sistema se configura na alternativa e) $\boldsymbol{\frac{3}{7}}$.

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Considerações e resolução

⠀⠀Um sistema de equações é um conglomerado de equações que possuem duas ou mais variáveis, cujo seus valores obtidos por meio de algum método de preferência satisfazem analogamente as igualdades. No caso dessa questão, temos um sistema de duas equações exponenciais:

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                                             $\Large\begin{array}{l}\begin{cases}(0,\!2)^{5x\,+\,y}=5~~_{(\,I\,)}\\(0,\!5)^{2x\,-\,y}=2~~_{(\,II\,)}\end{cases}\end{array}$

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⠀⠀Uma equação exponencial é uma sentença que exterioriza uma igualdade entre duas expressões possuintes de, pelo menos, uma incógnita no expoente. A ideia para resolver esse tipo de equação é fundada em deixar as bases iguais em ambos os membros a fim de igualar os expoentes, e é partindo primeiramente dessa ideia que daremos inicio à solução desta questão. Veja que tanto na eq. $\small(\,I\,)$ quanto na $\small(\,II\,)$ possuem potências de bases decimais, e assim, passando-as para bases fracionárias encontraremos:

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                      $\large\begin{array}{l}\begin{cases}(0,\!2)^{5x\,+\,y}=5\\(0,\!5)^{2x\,-\,y}=2\end{cases}\Rightarrow\,~\begin{cases}\bigg(\dfrac{2}{10}\bigg)^{5x\,+\,y}=5\\\\\bigg(\dfrac{5}{10}\bigg)^{2x\,-\,y}=2\end{cases}\Rightarrow\,~\\\\\begin{cases}\bigg(\dfrac{2^{:2}}{10^{:2}}\bigg)^{5x\,+\,y}=5\\\\\bigg(\dfrac{5^{:5}}{10^{:5}}\bigg)^{2x\,-\,y}=2\end{cases}\Rightarrow\,~\begin{cases}\bigg(\dfrac{1}{5}\bigg)^{5x\,+\,y}=5\\\\\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^{2x\,-\,y}=2\end{cases}\end{array}$

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⠀⠀Dessa forma, sabemos pelas propriedades que essas bases fracionárias são os inversos das potências de expoentes negativos, pois $b^{-\,1}=\frac{1}{b}$, logo:

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                             $\large\begin{array}{l}\begin{cases}\big(5^{-\,1}\big)^{5x\,+\,y}=5\\\big(2^{-\,1}\big)^{2x\,-\,y}=2\end{cases}\Rightarrow\,~\begin{cases}5^{-\,5x\,-\,y}=5\\2^{-\,2x\,+\,y}=2\end{cases}\end{array}$

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⠀⠀Na última etapa o que fizemos foi multiplicar os expoentes já que tínhamos potências de potências. Prosseguindo, veja que as bases das igualdades são iguais, e com base na ideia supramencionada vamos igualar os expoentes:

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                           $\large\begin{array}{l}\begin{cases}5^{-\,5x\,-\,y}=5^1\\2^{-\,2x\,+\,y}=2^1\end{cases}\Rightarrow\,~\begin{cases}-\,5x\,-\,y=1~~_{(\,I\,)}\\-\,2x\,+\,y=1~~_{(\,II\,)}\end{cases}\end{array}$

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⠀⠀Veja que obtemos duas novas equações, agora sendo do primeiro grau, então vamos solucionar pelo método da substituição (escolhi esse, mas poderíamos utilizar qualquer outro). Esse método consiste em isolar alguma variável numa equação e substituir seu valor provisório na outra, de modo a obter o valor de uma das variáveis. Como o objetivo dessa questão é encontrar o valor de “$\smally$”, vamos isolar “$x$” na eq. $\small(\,II\,)$:

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                                                     $\large\begin{array}{c}-\,2x+y=1\\\\-\,2x=1-y\\\\x=\dfrac{-\,1+y}{2}\end{array}$

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⠀⠀E por fim, substituir esse valor na eq. $\small(\,I\,)$ de modo a encontrar o que estamos buscando:

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                                              $\large\begin{array}{c}-\,5x-y=1\\\\-\,5\cdot\bigg(\dfrac{-\,1+y}{2}\bigg)-y=1\\\\\dfrac{5-5y}{2}-y=1\\\\5-5y-y\cdot2=1\cdot2\\\\5-5y-2y=2\\\\-\,7y=2-5\\\\-\,7y=-\,3\\\\\!\boldsymbol{\boxed{y=\dfrac{3}{7}}}\end{array}$

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⠀⠀E é assim que encerramos a questão, pois concluímos que na alternativa e) se configura o verdadeiro valor de “$\smally$”.

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$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

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          $\large\boldsymbol{O\beta r\iota g\alpha d\theta~\rho el\alpha~q\upsilon es\tau\alpha\theta~e~\upsilon m~cord\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!~\heartsuit}$