Question

Escreva as equações das retas tangentes a circunferência x²+y²-4x-6y-3 paralelas a reta y=x

Answer 1

x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0 (II) 

Comparando a equação da circunferência dada, (I), com a equação genérica de uma circunferência, (II), vemos que: 

- 2a = - 4 ⇒ a = 2 

- 2b = - 6 ⇒ b = 3 

a² + b² - r² = - 3 ⇒ 4 + 9 - r² = 0 ⇒ r = √13 

(a) Temos que encontrar a equação da reta "s" que passe por (2,3) e que seja perpendicular à reta r: y = - x. Como o coeficiente angular de r é - 1, o coeficiente angular de "s", que é perpendicular a "r", será 1. Assim, temos um ponto da reta ''s'', (2,3), e seu coeficiente angular, 1. A equação de "s" pode ser determinada: 

s: y - yo = m(x - xo) 

s: y - 3 = 1.(x - 2) 

s: y = x + 1: Essa é a equação da reta "s", que é perpendicular a "r" e que passa por (2,3). 

(b) 

Seja T(x,y) o ponto de tangência da circunferência ф', concêntrica a ф, com a reta r. Claro que o ponto T(x,y) pertence tanto à reta r quanto à circunferência ф'. Sabe-se que a distância desse ponto T(x,y) ao centro O(2,3) da circunferência ф' é o raio R da circunferência ф': 

(x - 2)² + (y - 3)² = R² (I) 

Por outro lado, sabe-se que a distância de um ponto O(xo,yo) a uma reta de equação Ax + By + C = 0 é o raio da circunferência tangente a essa reta que tem como centro esse ponto. Essa distância pode ser dada pela seguinte expressão: 

R = l Axo + Byo + C l/√(A² + B²) 

R² = (Axo + Byo + C)² /(A² + B²) (II) 

Na equação acima, a reta de equação Ax + By + C = 0 nada mais é do que a reta r, enquanto o ponto (xo,yo) é o centro da circunferência ф'. Lembremos que: 

r: x + y = 0 ⇒ A = 1, B = 1 e C = 0 
(xo,yo) = (2,3) ⇒ xo = 2 e yo = 3 

Substituindo esses valores em (II), temos: 

R² = (1.2 + 1.3 + 0)² /(1² + 1²) = 25/2 (III) 

Comparando (I) com (III), temos: 

(x - 2)² + (y - 3)² = 25/2

ESPERO TER AJUDADO!! :D