Question

Esboçar o gráfico e calcular a área das funções -3x²+7x+1 e |2x-1|. Minha dúvida é a respeito dos pontos de intersecção, que irão nos dar a referência dos dois pontos a serem calculados pela integral definida.
Agradeço muito quem conseguir me ajudar.
Obrigado.

Answer 1

Resposta:

5,5 ua

Explicação passo-a-passo:

Cara, o primeiro passo é montar o gráfico contendo as funções modular e de 2º grau.

À função modular ela fornece duas funções distintas quando x ≥ 0 e x < 0.

$|2x-1| \left \{ {{2x-1 \geq 1/2 } \atop {-2x+1<1/2 }} \right.$

O gráfico ele promove duas áreas A1 e A2 devido às diferentes funções que a função modular fornece.

Área A1

Para descobrirmos os pontos de intersecção da área A1, devemos igualar a função de 2º grau com a função modular quando x < 1/2, ou seja, -2x+1

-3x² + 7x + 1 = -2x + 1

-3x² + 7x + 1 + 2x - 1 = 0

-3x² + 9x = 0  ← Descubra as raízes.

x · (-3x + 9) = 0

x1 = 0 ou x2 = (-3x + 9) = 0 → x2 = 3

Ao olharmos para o gráfico no sentido quando x < 1/2, o único x que satisfaça a área A1 é x = 0, então, devemos descartar o x = 3, pois ele não satifaz para a área A1.

Área A2

Para descobrirmos os pontos de intersecção da área A2, devemos igualar a função de 2º grau com a função modular quando x ≥ 1/2, ou seja, 2x-1.

-3x² + 7x + 1 = 2x - 1

-3x² + 7x + 1 - 2x + 1 = 0

-3x² + 5x + 2 = 0 ← Descubra as raízes

x1 = $-\frac{1}{3}$ ou x2 = 2

O ponto 1/3 é menor que 1/2, então, devemos desconsiderar este ponto 1/3. Restando somente o ponto 2.

Logo, os pontos de intersecção são x = 0 e x = 2.

Agora é só descobrir a área.

Lembre-se, o ponto 1/2 separa as duas áreas de A1 para A2.

Descobrindo a área A1

Para a área A1, temos que:

$\int\limits^\frac{1}{2} _0  {(f(x) - g(x))} \, dx$

Logo

f(x) - g(x) = -3x² + 9x ← integrando a função:

$\int\limits^\frac{1}{2} _0 {-3x^{2}+9x } \, dx = -x^{3} +\frac{9}{2} x^{2} \\- (\frac{1}{2} )^{3} +\frac{9}{2} (\frac{1}{2} )^{2}  - 0 = 1 ua$

Logo, a área A1 equivale a 1 ua.

Descobrindo a área A2

Para a área A1, temos que:

$\int\limits^\frac{1}{2} _0  {(f(x) - g(x))} \, dx$

Logo

f(x) - g(x) = -3x² + 5x + 2 ← integrando a função:

$\int\limits^2_\frac{1}{2}  {-3x^{2}+5x+2 } \, dx = -x^{3} +\frac{5}{2} x^{2} + 2x$

Subtraindo 2 e 1/2 na função integrada, descobriremos a área A2:

$(-(2)^{3} +\frac{5}{2} 2^{2} +2\times2) - (-(\frac{1}{2} )^{3} +\frac{5}{2} (\frac{1}{2} )^{2} + 2\times(\frac{1}{2} ))=\\6-(1,5)=\\ 4,5 ua$

Logo, a área A2 equivale a 4,5ua.

Como a área A1 e A2 estão juntas, basta somar:

4,5 + 1 = 5,5 ua

É isso aí...

Answer 2

magina imaginar

Resposta:

professor de matemática

Explicação passo-a-passo:

professor professor Imaginarium