Question

equações logarítmicas​

Answer 1

Olá! Boa Tarde! Tudo bem?

Os problemas acima é logarítmicas. Só consegui compreender a letra A. Dessa forma, vamos resolver?

A)

$log_{3}(x-1)^2=2$

Para começar o passo a passo, estaremos encontrando todos os valores de X que transformem o argumento do logaritmo $log_3(x-1)$ negativo ou 0:

$x-1\leq 0$

Após o passo acima, estaremos calculando o valor de X na inequação seguinte:

$x\leq 1$

E por fim, para podemos encontrar o intervalo definido, estaremos excluindo os valores restritos:

$log_3(x-1)^2=2, x> 1$

Com o intervalo já definido, estaremos simplificando a equação, abaixo;

$log_{3}(x-1)^2=2, x>1$

Estaremos aplicando a raiz quadrada a ambos os membros das equações e lembrando de usar raízes positivas e negativas;

$log_3(x-1)=^{+}_{-} \sqrt{2}$

Agora, estremos separando a equação em 2 casos possíveis:

$log_3(x-1)=-\sqrt{2} \\log_3(x-1)=\sqrt{2}$

Para o próximo passo, estaremos calculando o valor de X na seguinte equação:

$log_3(x-1)=-\sqrt{2}$

Converta o logaritmo em forma exponencial utilizando o fato de que, $log_a(x)=b$ é igual a $x=a^b$,

$x-1=3\sqrt[-]{2}$

Por agora estaremos, expressando o $3\sqrt[-]{2}$, com um expoente positivo usando, $a^n^1 = \frac{1}{a^n}$:

$x-1=\frac{1}{3^\sqrt{2} }$

Por fim, estaremos movendo a constante $-1$ para o membro direito e alterando o seu sinal,

$x=\frac{1}{3^\sqrt{2}}$$+1$

AGORA, estaremos fazendo mesmo passo a passo na seguinte equação,

$log_3(x-1)=\sqrt{2} \\x-1=3^\sqrt{2}$

$x-1=3\sqrt{2} \\x=3^\sqrt{2}$$+1$

Por meio disso, teremos:

$x=\frac{1}{3^\sqrt{2} }$$+1$      

                  $, x > 1$

$x=3^\sqrt{2}$$+1$

Dessa forma. estaremos verificando se a solução pertence ao intervalo definido,

$x=\frac{1}{3^\sqrt{2} }$$+1$

$x=3^\sqrt{2}$$+1$

E como podemos ver, a equação tem 2 soluções, sendo:

$X_1=\frac{1}{3^\sqrt{2} }$$+1,$

$X_2=3^\sqrt{2}$$+1$

Dessa forma, podemos dizer que o valor de X é,

$X_1$≈$1,21147, X_2$≈$5,7288$

Espero ter ajudado!