Entre duas embalagens metálicas de mesmo volume, uma cilíndrica e outra com formato de cubo, qual a que gasta menos material para ser fabricada.
Soluções para a tarefa
Vamos usar como exemplo uma embalagem com 1 m³ de volume.
Um cubo com esta capacidade tem uma aresta igual a 1 m. Como ele é formado por 6 faces quadradas de 1 m² cada uma, a sua área total (At), que corresponde ao material a ser utilizado, é igual a:
At = 6 × 1 m² = 6 m² (área total, correspondente ao material a ser utilizado na confecção do cubo)
Para comparar o material a ser gasto em um cilindro com a mesma capacidade, vamos considerar um cilindro cujo diâmetro seja igual a 1 m e seu raio, portanto, igual a 0,5 m.
O volume deste cilindro (Vcil) deverá também ser igual a 1 m³.
O volume do cilindro é igual a:
Vcil = Área da base (Ab) × altura (h)
A área da base é a área de um círculo de raio (r) igual a 0,5 m:
Ab = π × r²
Ab = 3,14 × 0,5²
Ab = 0,785 m² (área da base do cilindro)
O volume, então, será igual a:
Vcil = 0,785 × h
1,0 m³ = 0,785 m² × h
h = 1,0 m³ ÷ 0,785 m²
h = 1,274 m (altura do cilindro)
A área total do cilindro corresponde à soma de duas bases (a superior e a inferior) com a área lateral (Al). Esta área lateral é igual à área de um retângulo de lados iguais à altura (h) e ao comprimento da circunferência das bases (c = 2 × π × r). Então, a área lateral é igual a:
Al = 2 × π × r × h
Al = 2 × 3,14 × 0,25 m × 1,274 m
Al = 2,00 m² (área lateral do cilindro)
Então, a área total do cilindro será:
At = 2 × Ab + Al
At = 2 × 0,785 m² + 2,00 m²
At = 3,57 m² (área total do cilindro)
Comparando as duas áreas totais, que correspondem ao material a ser utilizado:
Área do cubo: 6,00 m²
Área do cilindro: 3,57 m²
R.: O cilindro gasta menos material que um cubo que tenha mesmo volume para a sua fabricação.
A embalagem que gasta mais material é a embalagem cilíndrica.
Cálculo de áreas
A área de uma figura ou região é definida como a extensão da superfície ocupada pela figura em um plano.
Para resolver a questão, precisamos calcular a área da superfície do cilindro e do cubo sabendo que eles têm o mesmo volume.
Teremos as seguintes igualdades:
V(cubo) = a³
V(cilindro) = πr²h
onde:
- a é a aresta do cubo;
- r é o raio da base do cilindro;
- h é a altura do cilindro.
A área da superfície do cubo é 6 vezes a área de cada face:
As(cubo) = 6a²
A área da superfície do cilindro é a soma das áreas das bases e lateral:
As(cilindro) = 2πr(r + h)
Seja os volumes das embalagens 1 m³ e r = 1 m, teremos:
1 = a³
a = 1 m
1 = π·1²·h
h = 1/π m
Substituindo nas equações das áreas:
As(cubo) = 6·1² = 6 m²
As(cilindro) = 2π·1(1 + 1/π) = 2π + 2 m²
Como π ≈ 3,14, teremos As(cilindro) > As(cubo).
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