Matemática, perguntado por leticiamaquiotto, 8 meses atrás

Encontre o valor de log(72⋅√15). Usando propriedades de logaritmo. Detalhe sua resolução.
Considere: log2=0,3 , log3=0,48 e log5=0,7

Alguém me ajuda por favor não estou conseguindo fazer e é bem urgente por favr gente me ajuda

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

De antemão, confira algumas das propriedades dos logaritmos usadas na resolução:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf1^a)~~log\:\!_a\:(b\cdot c)~\Leftrightarrow~log\:\!_a\:(b)+log\:\!_a\:(c)\\\\\sf2^a)~~log\:\!_a\:(b^c)~\Leftrightarrow~c\cdot log\:\!_a\:(b)\end{array}}$

1ª) o produto de fatores no logaritmando passa a ser uma soma de logaritmos de cada fator;
2ª) o expoente do logaritmando passa multiplicando o logaritmo.

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Assim, se for para calcular o valor de

$\begin{array}{l}\\\sf log\:\Big(72\sqrt{15}\:\Big)\\\\\end{array}$

então vamos começar desenvolvendo usando as propriedades:

$\begin{array}{l}\\\sf log\:\Big(72\sqrt{15}\:\Big)=log\:\Big(72\cdot\sqrt{15}\:\Big)\\\\\sf log\:\Big(72\sqrt{15}\:\Big)=log\:\big(72\big)+log\:\Big(\!\sqrt{15}\!\:\Big)\\\\\sf log\:\Big(72\sqrt{15}\:\Big)=log\:\big(72\big)+log\:\Big(15^{\:\!1/2}\Big)\\\\\sf log\:\Big(72\sqrt{15}\:\Big)=log\:\big(72\big)+\dfrac{\:1\:}{2}\cdot log\:\big(15\big)\\\\\sf log\:\Big(72\sqrt{15}\:\Big)=log\:\big(72\big)+\dfrac{ \:log\:\big(15\big)\:}{2}\\\\\end{array}$

Decompondo os logaritmandos em fatores primos:

$\begin{array}{l}\sf m.m.c(72)\\\begin{array}{r|l}\sf72&\sf2\\\sf36&\sf2\\\sf18&\sf2\\\sf9&\sf3\\\sf3&\sf3\\\sf1&\sf\hookrightarrow\:2^3\cdot3^2\end{array}\end{array}$ $\begin{array}{l}\sf m.m.c(15)\\\begin{array}{r|l}\sf15&\sf3\\\sf5&\sf5\\\sf1&\sf\hookrightarrow\:3\cdot5\end{array}\end{array}$

Assim temos que

$\begin{array}{l}\\\sf log\:\Big(72\sqrt{15}\:\Big)=log\:\big(2^{\:\!3}\cdot3^{\:\!2}\big)+\dfrac{\:log\:\big(3\cdot5\big)\:}{2}\\\\\sf log\:\Big(72\sqrt{15}\:\Big)=log\:\big(2^{\:\!3}\big)+log\:\big(3^{\:\!2}\big)+\dfrac{\:log\:\big(3\big)+log\:\big(5\big)\:}{2}\\\\\sf log\:\Big(72\sqrt{15}\:\Big)=3\cdot log\:\big(2\big)+2\cdot log\:\big(3\big)+\dfrac{\:log\:\big(3\big)+log\:\big(5\big)\:}{2}\\\\\end{array}$

Agora basta substituir pelos valores do enunciado e encontrar o resultado final:

$\begin{array}{l}\\\sf log\:\Big(72\sqrt{15}\:\Big)=3\cdot0,3+2\cdot0,48+\dfrac{0,48+0,7}{2}\\\\\sf log\:\Big(72\sqrt{15}\:\Big)=0,9+0,96+\dfrac{1,18}{2}\\\\\sf log\:\Big(72\sqrt{15}\:\Big)=1,86+0,59\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf log\:\Big(72\sqrt{15}\:\Big)\approx2,45}}\end{array}$