Question

Enche-se um reservatorio cuja forma é um cone circular reto, de agua a uma taxa de 0,1 m³/s. O vertice esta a 15m do topo e o raio do topo é 10m. Com que velocidade o nivel H da agua esta subindo no instante em que h=5 m?

Reposta= $\frac{9}{10^3 \pi}=\frac{0,9}{10^2 \pi}$

Answer 1

Gabarito: \frac{9}{10^3 \pi} m/s

Answer 2

Sabemos que o volume do cone é dado por:

$V= \frac{1}{3} \pi r^{2}h$

Devemos deixar o volume em função apenas de h:

$\frac{r}{h} = \frac{5}{15}$

$r= \frac{h}{3}$

Logo:

$V= \frac{1}{3} \pi h(\frac{h}{3})^{2}$

$V= \frac{1}{27}\pi h^{3}$

Derivando em relação ao tempo:

$\frac{dV}{dt} =\frac{1}{9}\pi h^{2} \frac{dh}{dt}$

Então, quando h = 10 m (do fundo para cima)

$0,1=\frac{1}{9}\pi 10^{2} \frac{dh}{dt}$

$\frac{dt}{dt} = \frac{9×0,1}{100 \pi } = \frac{9}{1000 \pi }m^{3}/s$