Em uma progressão geométrica com infinitos termos, a soma dos dois primeiros termos é 40, a soma dos três primeiros termos é 76 e a soma dos quatro primeiros termos é 130.
Quantos termos dessa progressão geométrica são inteiros?
(A) 5
(B) 6
(C) 10
(D) 12
(E) 3
Queria saber porque devo utilizar ai+a1·q ao inves de a1+a2=40
Soluções para a tarefa
Resposta:
Letra A
Explicação passo-a-passo:
Vamos escrever essa PG em função de a e da razão q.
PG(a, aq, aq², aq³, aq⁴ ... )
a + aq = 40
a + aq + aq² = 76
a + aq + aq² + aq³ = 130 (Essa não será utilizada na resolução)
a(1 + q) = 40 ⇒ 1 + q = 40/1 ⇒ q = 40/a - 1
Subst. na segunda equação
a(1 + q + q²) = 76
a(40/a + q²) = 76
40 + aq² = 76
aq² = 76 - 40
aq² = 36
a(40/a - 1)² = 36
a(1600/a² - 80/a + 1)
1600/a - 80 + a = 36
1600 - 80a + a² = 36a
a² - 116a + 1600 = 0
Δ = (-116)² - 4.1600
Δ = 13456 - 6400
Δ = 7056
a = [-(-116) - 84]/2
a = (116 - 84)/2
a = 32/2
a = 16
ou
a = [-(-116) + 84]/2
a = (116 +84)/2
a = 200/2
a = 100
p/ a = 16 ⇒ a + aq = 40
16 + 16q = 40 ⇒ 16q = 40 - 16
16q = 24
q = 24/16
q = 3/2
a = 16
a.q = 16.3/2 = 24
a.q² = 24.3/2 = 36
aq³ = 36.3/2 = 54
aq⁴ = 54.3/2 = 81
aq⁵ = 81.3/2 = 243/2 (a partir desse termo, todos são fracionários)
PG(16, 24, 36, 54, 81, 243/2 ...)
p/ a = 100 ⇒ a + aq = 40
100 + 100q = 40 (: por 4)
25 + 25q = 10
25q = 10 - 25
25q = - 15
q = -15/25
q = -3/5
a = 100
aq = 100.(-3/5) = -60
aq² = -60.(-3/5) = 36
aq³ = 36(-3/5) = - 108/5 ( a partir desse termo tos os demais são fracionários)
PG(100, -60, 36, -108/5, ...) (Essa não serve, pois não atende a terceira equação).
Como essa PG(16, 24, 36, 54, 81, 243/2 ...), tem 5 termos inteiros, a resposta é opção A