Question

⚠️É URGENTE ⚠️

Um grande terreno retangular está dividido em dois lotes separados um do outro por uma cerca AB-BC-CD, conforme figura a seguir. As partes AB, BC e CD da cerca são paralelas aos lados do retângulo e tem comprimentos de 50 m, 60 m e 30 m, respectivamente. Os donos dessas terras decidiram derrubar essa certa e fazer uma nova cerca reta AE de modo que, redistribuindo uma pequena área do terreno, um deles fique com a parte à esquerda da cerca e o outro fique com a parte à direita dessa cerca. Se essa mudança de cerca não pode alterar as áreas pertencentes a cada um dos proprietários dos terrenos, determine a que distância do ponto D deve estar a extremidade e da nova cerca

Answer 1

O ponto D deve estar a 15 m de distância da extremidade (E) da nova cerca.

• Observe a figura anexa.
• A divisória AE intercepta o segmento BC no ponto O. Com essa divisória a área do trapézio OCDE, antes de cor azul, passa a pertencer à área amarela e a área do triângulo OAB, antes de cor amarela, passa a pertencer à área azul, portanto essas áreas trocadas devem ser iguais.
• Determine essas áreas e as iguale, observando que: No trapézio OCDE a base maior mede (60−z) e a base menor mede x.

AB = 50 m

BC = 60 m

CD = 30 m

$\large \text {\sf \'Area do tri\^angulo OAB = \sf \dfrac {50 \cdot z}{2} }$

$\large \text {\sf \'Area do trap\'ezio OCDE = \sf \dfrac {(60-z +x)\cdot 30}{2} }$

• As áreas devem ser iguais.

$\large \sf \dfrac {(60-z +x)\cdot 30}{2} = \dfrac {50 \cdot z}{2}$

(60 − z + x) ⋅ 30 = 50z ⟹ Divida ambos os membros por 10.

(60 − z + x) ⋅ 3 = 5z

180 − 3z + 3x = 5z

3x = 8z − 180 ① ⟹ É necessário mais equações.

• Observe que os triângulos OAB E OEF são semelhantes pelo caso AA pois possuem um par de ângulos opostos pelo vértice e um par de ângulos retos. Escreva uma razão de semelhança.

$\large \sf \dfrac{y}{z} = \dfrac {30}{50}$

$\large \sf \dfrac{y}{z} = \dfrac {3}{5}$

5y = 3z ②

• Observe que o segmento BC corresponde a (x + y + z).

x + y + z = 60 ⟹ Subtraia z em ambos os membros.

x + y = 60 − z ⟹ Multiplique ambos os membros por 5.

5x + 5y = 300 − 5z ⟹ Substitua o valor de 5y (use a equação ②).

5x + 3z = 300 − 5z ⟹ Some 5z em ambos os membros.

5x + 8z = 300 ⟹ Subtraia 5x em ambos os membros.

8z = 300 − 5x ⟹ Substitua o valor de 8z na equação ①.

3x = 8z − 180 ①

3x = 300 − 5x − 180 ⟹ Some 5x em ambos os membros.

8x = 300 − 180

8x = 120

x = 15 m

O ponto D deve estar a 15 m de distância da extremidade (E) da nova cerca.

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