Question

determine uma equação vetorial da reta definida pelos pontos A(2,3) e B91,-1) e verifique se os pontos C(5,-4) e D(-1,3) pertencem a r

Answer 1

Resposta:

Se a reta passa pelos pontos AA e B,B, então o vetor \overrightarrow{\mathbf{v}}

v

diretor da reta é paralelo ao vetor \overrightarrow{AB}:

AB

:

\begin{gathered}\overrightarrow{\mathbf{v}} \parallel\overrightarrow{AB}\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{v}} \parallel B-A\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{v}} \parallel (1;\,-1;\,2)-(2;\,-3;\,4)\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{v}} \parallel (1-2;\,-1+3;\,2-4)\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{v}} \parallel (-1;\,2;\,-2)\end{gathered}

v

∥

AB

v

∥B−A

v

∥(1;−1;2)−(2;−3;4)

v

∥(1−2;−1+3;2−4)

v

∥(−1;2;−2)

Então, podemos tomar o vetor (-1;\,2;\,-2)(−1;2;−2) como vetor diretor da reta:

\overrightarrow{\mathbf{v}}=(-1;\,2;\,-2)

v

=(−1;2;−2)

Dado um ponto da reta e um vetor diretor, podemos definir a sua equação.

Por exemplo, tomemos o ponto AA e o vetor diretor \overrightarrow{\mathbf{v}}.

v

. A equação vetorial da reta é

\begin{gathered}(x;\,y;\,z)=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}(x;\,y;\,z)=(2;\,-3;\,4)+t\cdot (-1;\,2;\,-2) \end{array}}\end{gathered}

(x;y;z)=A+t⋅

v

(x;y;z)=(2;−3;4)+t⋅(−1;2;−2)

Para verificar se um ponto pertence à reta, basta substituir suas coordenadas no lado esquerdo e verificar se existe um tt real que torne a igualdade verdadeira.

\bullet\;\;∙ Verificando se o ponto C(5;\,-4;\,5)C(5;−4;5) pertence à reta:

\begin{gathered}(5;\,-4;\,5)=(2;\,-3;\,4)+t\cdot (-1;\,2;\,-2)\\ \\ t\cdot (-1;\,2;\,-2)=(5;\,-4;\,5)-(2;\,-3;\,4)\\ \\ t\cdot (-1;\,2;\,-2)=(5-2;\,-4+3;\,5-4)\\ \\ t\cdot (-1;\,2;\,-2)=(3;\,-1;\,1)\\ \\ (-t;\,2t;\,-2t)=(3;\,-1;\,1)\end{gathered}

(5;−4;5)=(2;−3;4)+t⋅(−1;2;−2)

t⋅(−1;2;−2)=(5;−4;5)−(2;−3;4)

t⋅(−1;2;−2)=(5−2;−4+3;5−4)

t⋅(−1;2;−2)=(3;−1;1)

(−t;2t;−2t)=(3;−1;1)

Analisando a última linha acima, vemos que não existe um número real tt que satisfaça a igualdade entre os vetores. Logo, C(5;\,-4;\,5)C(5;−4;5) não pertence à reta.

\bullet\;\;∙ Verificando se o ponto D(-1;\,3;\,4)D(−1;3;4) pertence à reta:

Substituindo as coordenadas na equação da reta,

\begin{gathered}(-1;\,3;\,4)=(2;\,-3;\,4)+t\cdot (-1;\,2;\,-2)\\ \\ t\cdot (-1;\,2;\,-2)=(-1;\,3;\,4)-(2;\,-3;\,4)\\ \\ t\cdot (-1;\,2;\,-2)=(-1-2;\,3+3;\,4-4)\\ \\ t\cdot (-1;\,2;\,-2)=(-3;\,6;\,0)\\ \\ (-t;\,2t;\,-2t)=(-3;\,6;\,0)\end{gathered}

(−1;3;4)=(2;−3;4)+t⋅(−1;2;−2)

t⋅(−1;2;−2)=(−1;3;4)−(2;−3;4)

t⋅(−1;2;−2)=(−1−2;3+3;4−4)

t⋅(−1;2;−2)=(−3;6;0)

(−t;2t;−2t)=(−3;6;0)

Novamente, não existe tt real que satisfaça a igualdade acima. Logo, o ponto D(-1;\,3;\,4)D(−1;3;4) também não pertence à reta.