Question

Determine todos os valores reais de a para os quais a equação (x-1)² = |x-a| admita exatamente três soluções distintas.

Answer 1

Resposta: a equação (x – 1)² = |x – a| admitirá exatamente três soluções distintas ∀a ∈ {3/4 , 1 , 5/4}

Em primeiro lugar, lembre-se que, para a ∈ ℝ e x ∈ ℝ :

$\tt |x-a|=\begin{cases}\tt x-a\ \ ,\ \ se\ \ \ x-a\geqslant0\ \ \rightarrow\ \ x\geqslant a\\ \tt a-x\ \ ,\ \ se\ \ \ x-a<0\ \ \rightarrow\ \ x<a\end{cases}$

• Para x ≥ a, a equação (x – 1)² = |x – a| fica:

$\tt (x-1)^2=x-a\\\\ \tt x^2-2x+1=x-a\\\\ \tt x^2-2x-x+1+a=0\\\\ \tt x^2-3x+(1+a)=0\qquad (\:1\:)$

• Para x < a, a equação (x – 1)² = |x – a| torna-se:

$\tt (x-1)^2=a-x\\\\ \tt x^2-2x+1=a-x\\\\ \tt x^2-2x+x+1-a=0\\\\ \tt x^2-x+(1-a)=0\qquad (\:2\:)$

Como podemos ver logo acima, temos duas equações quadráticas de coeficientes homólogos não proporcionais, então existem, no máximo, quatro soluções distintas para a equação (x – 1)² = |x – a|. Repare ainda que as equações x² – 3x + (1 + a) = 0 e x² – x + (1 – a) = 0 têm no máximo uma raiz comum, isso porque elas jamais terão as mesmas raízes, uma vez que os seus coeficientes correspondentes não são proporcionais. Para sabermos se existe e, caso exista, qual é a raiz comum e qual valor de a a origina, vamos supor que a tal raiz comum seja k. Substituindo x por k em ( 1 ) e ( 2 ), encontraremos k = 1 e a = 1, ou seja, para a = 1 as equações ( 1 ) e ( 2 ) tornar-se-ão respectivamente iguais a x² – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) = 0 e x² – x = x(x – 1) = 0, resultando num total de três soluções distintas, sendo que a comum é k = 1. Portanto, já temos o primeiro valor de a, que é:

$\boxed{\large\begin{array}{l}\tt a=1\end{array}}$

Agora, para a ≠ 1, as equações ( 1 ) e ( 2 ) não têm raiz comum, e é este caso que vamos analisar agora.

• Desenvolvendo ( 1 ), obtemos:

$\tt x^2-3x=\!\:\!\:\!-(1+a)\\\\ \tt x^2-2\cdot x\cdot \dfrac{3}{2}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{\!\!2}\!=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{\!\!2}\!-(1+a)$

$\tt \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{\!\!2}=\dfrac{9}{4}-(1+a)$

$\tt \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{\!\!2}=\dfrac{9}{4}-1-a$

$\tt \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{\!\!2}=\dfrac{9}{4}-\dfrac{4}{4}-a$

$\tt \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{\!\!2}=\dfrac{5}{4}-a\qquad(\:3\:)$

A equação ( 3 ) terá uma única raiz real (raiz dupla) só se:

$\tt \dfrac{5}{4}-a=0\quad \iff \quad a=\dfrac{5}{4}\qquad(\:4\:)$

A equação ( 3 ) terá duas raízes reais e distintas apenas quando:

$\tt \dfrac{5}{4}-a>0\quad \iff \quad a<\dfrac{5}{4}\qquad(\:5\:)$

A equação ( 3 ) terá duas raízes complexas conjugadas somente se:

$\tt \dfrac{5}{4}-a<0\quad \iff \quad a>\dfrac{5}{4}\qquad(\:6\:)$

• Desenvolvendo ( 2 ), chegamos a:

$\tt x^2-x=a-1\\\\ \tt x^2-2\cdot x\cdot \dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\!\!2}\!=a-1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\!\!2}$

$\tt \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{\!\!2}=a-1+\dfrac{1}{4}$

$\tt \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{\!\!2}=a-\dfrac{3}{4}\qquad(\:7\:)$

A equação ( 7 ) terá uma única raiz real (raiz dupla) só se:

$\tt a-\dfrac{3}{4}=0\quad \iff\quad a=\dfrac{3}{4}\qquad(\:8\:)$

A equação ( 7 ) terá duas raízes reais e distintas apenas quando:

$\tt a-\dfrac{3}{4}>0\quad \iff\quad a>\dfrac{3}{4}\qquad(\:9\:)$

A equação ( 7 ) terá duas raízes complexas conjugadas somente se:

$\tt a-\dfrac{3}{4}<0\quad \iff\quad a<\dfrac{3}{4}\qquad(\:10\:)$

Enfim, para a ≠ 1, a equação (x – 1)² = |x – a| terá exatamente três soluções distintas quando:

$\tt \bullet\ Ocorrer\ (\:4\:)\ e\ (\:9\:)\ \implies\ \large\boxed{\begin{array}{l}\tt a=\dfrac{5}{4}\end{array}}\\\\\\\\ \tt \bullet\ Ocorrer\ (\:4\:)\ e\ (\:10\:)\ \implies\ \large\tt \nexists\, a\in\mathbb{R}\\\\\\ \tt \bullet\ Ocorrer\ (\:8\:)\ e\ (\:5\:)\ \implies\ \large\boxed{\begin{array}{l}\tt a=\dfrac{3}{4}\end{array}}\\\\\\ \tt \bullet\ Ocorrer\ (\:8\:)\ e\ (\:6\:)\ \implies\ \large\tt \nexists\, a\in\mathbb{R}$

Answer 2

Da pra fazer esse problema geometricamente também. Vou deixar a solução aqui caso alguém se interesse, mas ela exige alguns conhecimentos de geometria de cônicas que não são usualmente abordados nas escolas e é mais complicada que a solução algébrica na minha opnião.

O gráfico de (x-1)² é uma parabola, ou seja, tem um formato aproximado da letra U. Por outro lado, o gráfico de |x-a| tem o formato da letra V. Dai o problema pergunta para quais valores de a a equação tem exatamente 3 soluções. Observamos que ao mudar o valor de a, estamos apenas movendo o gráfico de |x-a| para a direita ou para a esquerda. Queremos saber em quais posições esses dois gráficos se encontram em exatamente 3 pontos. (De uma olhada nas figuras da outra resposta). Assim existem dois casos: ou o vértice do V e da letra U coincidem, ou a letra V tangencia a letra U.

primeiro caso:

o vértice de (x-1)²  é o ponto (1,0)

o vértice de |x-a| é o ponto (a,0)

Logo, devemos ter a = 1  para que os vértices coincidam.

segundo caso: (aqui também da pra fazer usando derivadas)

Observamos que o gráfico de |x-a| forma angulos de 45° com a horizontal. Assim, procuramos pontos da parabola cuja reta tangente também forma ângulos de 45° com a horizontal. Agora vamos usar o seguinte resultado:

Dado um ponto T numa parábola, sabemos que a distancia de T até o foco é igual a distancia de T até a reta diretriz. Além disso, a reta tangente a parabola nesse ponto é bissetriz desses segmentos. (a primeira parte é bem conhecida, mas a segunda nem tanto)

Na figura, F é o foco da parabola, em vermelho temos a  reta diretriz, V é o vertice. O que disse acima quer dizer que os segmentos TF e TG tem mesma medida. E que a reta tangente é bissetriz do angulo FTG. Aplicando isso a situação do seu problema, queremos encontrar a distancia XV (pois X é o ponto onde deve ficar o vertice da função |x-a| para que os gráficos sejam tangentes). Mas como os angulos XTF e XTG medem 45°, segue que  TFPG é um quadrado. E como V é ponto medio de FP, segue que XV é metade da distancia entre o foco e a diretriz (o parametro da parabola). Na parabola y = (x-1)², o parametro mede 1/2. Assim, XV mede 1/4. Logo, para que os gráficos de |x-a| e (x-1)² sejam tangentes, a distancia dos seus vertices deve ser 1/4. Portanto nesse caso temos duas soluções: a = 1 + 1/4 = 5/4 ou a = 1 - 1/4 = 3/4

Obs:

Se quiser (recomendo), pode usar uma mudança de variavel y  = x-1 e b = a - 1 para transformar o problema em determinar todos os valores de b tal que a equação y² = |y-b| possua exatamente 3 soluções. Nesse caso obteremos b = -1/4, 0, 1/4 e refazendo a mudança de variavel temos a solução desejada.

Obs2:

Você pode concluir também que para  a < 3/4 ou a > 5/4 a equação tem exatamente 2 soluções distintas (os gráficos se encontram em 2 pontos). Para 3/4 < a < 1  e 1 < a < 3/4 temos 4 soluções distintas

Resposta: a deve ser 3/4, 1 ou 5/4